Relatividade Restrita

Parece-me que é conveniente antes de mais definir relatividade. Segundo um dicionário comum, irá ler-se que é sinónimo de relatividade: condicionalidade, ou seja, algo está condicionado a alguma coisa, ou usando o conceito em causa: algo é relativo a… Passando para a Física surgem as questões: quando e a quem é que é relativo? O quê que é relativo? Porquê que é relativo?

(English version: Special Relativity.)

  • Quando e a quem é que é relativo?

Existe relatividade se houver dois observadores com movimento diferente entre si. Basta pensar que vamos na auto-estrada a 120km/h e um idiota vai a 200km/h. Intuitivamente dizemos que esse idiota vai a 80km/h a mais que nós, portanto vai a 80km/h relativamente a nós. É importante compreender que nós assimilamos o mundo através do nosso corpo, pelo que, obviamente, estamos sempre parados em relação a nós mesmos. Deste modo é tão correcto ir de carro e o senhor guarda que está parado afirmar que passámos por ele a 130km/h, como será também correcto do nosso ponto de vista dizermos que ele é que passou por nós a 130km/h. O referencial que se escolhe é fundamental. O senso comum, por uma questão de simplicidade, assume sempre como referencial o planeta Terra e que este sim está em repouso (parado) e como tal os movimentos que se façam, medem-se em relação a este. Isto é tão correcto quanto pensarmos que o referencial não é a Terra, mas sim nós próprios e como tal, se eu dou um passo em frente, neste referencial terá tudo andado um “passo” para trás. Isto parece absurdo, mas parece-o apenas porque estamos “fixados” no conhecimento empírico e, portanto, não vemos o fenómeno deste modo. Cientificamente é igualmente correcto – não existe referenciais privilegiados.

  • O que é que é relativo e porquê que o é?

Pensando apenas na relatividade de Galileu, que corresponde exactamente a uma situação como aquela da auto-estrada antes referida: tem-se que a velocidade é relativa, pois se eu estiver parado ao pé da auto-estrada vejo o idiota a circular a 200km/h, se estiver a conduzir a 120km/h, vejo o idiota a ultrapassar-me com 80km/h (a mais – relativamente a mim). Isto vai implicar uma coisa óbvia: partindo do pressuposto que o tempo é absoluto, se existe diferente velocidade consoante o referencial e se a velocidade é igual ao espaço percorrido sobre o tempo despendido para o percorrer, isto implica que também o espaço tem que ser relativo! No entanto, isto são apenas transformações simples, sem nenhuma imposição “transcendente”, pelo que, como é óbvio, as distâncias espaciais são invariantes, segundo este modelo (que se aplica perfeitamente para velocidades reduzidas). (Em suma, é apenas matemática.)

Felizmente para os físicos, o trabalho da relatividade não acabou aqui: as leis deduzidas por Maxwell que explicam os fenómenos electromagnéticos não seguiram este modelo, isto porque previam que a velocidade da luz era uma constante independente do referencial e todas as experiências confirmavam isto. Por exemplo, se estivéssemos parados e viesse um raio de luz do Sol e lhe medíssemos a velocidade, esta seria c (~300 000km/s), mas se voltássemos a repetir a experiência dando um salto com velocidade x (é claro que esta formulação não é a mais correcta, mas no contexto isso não é relevante), a velocidade da luz medida agora não seria c-x (como previa a relatividade de Galileu), mas seria igualmente c!

Estamos, então, já na posse dos dois postulados fundamentais da Relatividade Restrita de Einstein proposta em 1905:

As leis da Física não variam com o sistema de coordenadas usado – são independentes do referencial escolhido (tem a condicionante que o referencial tem que ser inercial, ou seja, a sua velocidade tem que ser uma constante – zero incluído, pois uma aceleração já irá ter outras implicações, explicadas pela Relatividade Geral); e a velocidade da luz no vácuo é constante, independentemente do referencial escolhido, ou seja, quer este esteja em movimento, quer esteja em repouso.

Isto vai implicar que também o tempo tenha que ser relativo e não absoluto como afirmara Galileu. Porquê? Vejamos o seguinte exemplo:

Consideremos um sistema (idealizado) constituído por dois espelhos paralelos distanciados de uma distância d, em que se supõe que parte um feixe luminoso com uma cor definida que se veja (comprimento de onda no visível) de um espelho para o outro, segundo uma perpendicular a ambos os espelhos. Em seguida, colocamos este sistema a movimentar-se a uma velocidade bastante elevada de modo a que um observador em repouso veja não o feixe a passar na perpendicular, mas sim segundo uma direcção oblíqua. No entanto, se formos à mesma velocidade que o sistema, o que vemos é a perpendicular esperada, visto que o sistema estará em repouso em relação a nós. Temos então que no caso da perpendicular, a velocidade da luz c será igual ao espaço percorrido d sobre um tempo t1 despendido pelo feixe para percorrer esse espaço, ou seja, c=d/t1. Do mesmo modo, no caso da oblíqua, a velocidade da luz c será igual à distância percorrida x – uma diagonal que é obviamente superior a d, sobre um tempo despendido t2, ou seja, c=x/t2. Já se deverá estar a fazer luz: c é invariante, logo se a distância mudou, o tempo também terá que mudar, ou seja, t1 é diferente de t2. No entanto, ambos os tempos correspondem ao “mesmo” intervalo de tempo entre os dois mesmos eventos: em qualquer dos casos, o raio de luz sai do espelho inferior num dado instante, e deve chegar ao espelho superior num outro instante bem definido, não fazendo sentido que haja duas histórias distintas, se estivermos a olhar para o relógio estando nós parados, ou estando nós a mover-nos à mesma velocidade que a dos espelhos. Quando ouvem isto, é usual os leigos acharem que o indivíduo que está parado é que está a ser enganado por um efeito de óptica – pensam que não existe qualquer diagonal. Tal não é verdade, ele está tão correcto quanto o outro, cada um usou as leis da Física que conhece do mesmo modo, supondo que o seu referencial era adequado, o que é sem dúvida verdade, tendo em conta os postulados da Teoria da Relatividade Restrita.

Uma consequência disto é que acontecimentos simultâneos para um observador, poderão não o ser para outro! É evidente que isto não é passível se ser observado no quotidiano, visto que as velocidades que usamos nos nossos “referenciais” são todas elas bastante reduzidas, nada comparáveis à velocidade da luz. Ainda assim, poderemos pensar numa famosa “experiência mental” proposta pelo próprio Einstein:

comboio
Consideremos a existência de uma fonte de luz (por exemplo, o Sol) e um comboio a movimentar-se a uma velocidade muito elevada. Supondo que conseguimos tirar uma foto de um raio luminoso que chegue a uma extremidade do comboio (à sua frente) e outro raio que “atinja” a outra extremidade do comboio (a parte de trás), e supondo que ambos os raios partiram ao mesmo tempo da fonte luminosa, será de prever que o observador que está parado veja os raios a chegar a ambos os locais em simultâneo. Passemos agora para a perspectiva do viajante que dentro do comboio (digamos que está posicionado a meio do comboio): como o comboio vai a uma velocidade muito grande, o raio que “atinge” a frente do comboio irá chegar primeiro ao observador que o raio que “chega” à parte de trás do comboio (e que reflecte em direcção aos olhos/máquina fotográfica do observador). Significa então que um observador vê acontecimentos simultâneos e o outro não! E mais uma vez, ambos os observadores estão correctos. Talvez seja conveniente explicar um pouco melhor a observação do utilizador em movimento (se compreendeu, passe à frente): uma pessoa vê a luz que lhe chega aos olhos, portanto o que acontece é o seguinte: um raio luminoso chega à frente do comboio e é reflectido em todas as direcções, na parte de trás do comboio sucede o mesmo: mas como o observador vai em direcção à frente do comboio (por causa do movimento deste) a luz para chegar a ele vinda daqui, terá que percorrer um menor espaço do que a luz que parte de trás, dado que nesse caso o observador vai a “fugir”, pelo que a luz terá que percorrer uma distancia maior, logo demorará mais a lá chegar, relativamente ao impulso luminoso da frente. O leitor sagaz poderá estar a pensar que se o observador que está no comboio não estivesse a meio, poderia eventualmente escolher uma posição onde os eventos fossem simultâneos, ou seja, mais próximo da parte de trás do comboio, para “compensar” a velocidade deste. Isto não é verdade: todos os observadores dentro do comboio estão sujeitos à mesma velocidade, (ou seja, estão no mesmo referencial), logo todos eles irão concordar quanto à determinação dos tempos (terão simplesmente que fazer umas “contas” para que o facto de estarem em diferentes posições não os “engane”).

(Alguma Matemática, quem não gostar, pode passar à frente*.)

Resolvendo as matemáticas associadas, de modo a que tudo seja válido segundo os postulados, obtêm-se umas equações muito simples que descrevem esta distorção temporal:

t=\gamma t_0

com:

\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}

em que t é o tempo (medido) pelo observador em repouso, to é o tempo do observador em movimento a uma velocidade v, e c, como dito anteriormente, é a velocidade da luz.

Do mesmo modo também se pode fazer as “contas” para a distorção no espaço (contracção espacial):

L=\frac{L_o}{\gamma}

em que L é o comprimento medido pelo observador em repouso e Lo o comprimento medido pelo observador em movimento (mas em repouso em relação ao comprimento do objecto medido, a este comprimento dá-se o nome de “comprimento próprio”).

Olhando para as expressão matemáticas e sabendo que a velocidade v é sempre menor que a velocidade da luz c (visto que esta é inultrapassável), é fácil deduzir que a letra gama será sempre superior a 1 (aproximadamente 1 quando a relatividade não é relevante, ou seja, quando v é reduzido), visto que v/c é um número menor que 1 (tipicamente muito menor), pelo que essa quantidade (ao quadrado) subtraída a 1 dará um número maior que zero, mas sempre menor que 1, bem como a sua raiz, pelo que fazendo o inverso tem-se um número superior a 1.

*Isto implica que o tempo medido pelo observador em repouso será maior que o tempo do que viaja, o que significa que o relógio do que passeia atrasa relativamente ao que fica parado. Este facto já foi confirmado experimentalmente! Um “paradoxo” muito conhecido relacionado com este facto é o “paradoxo dos gémeos”, em que se um dos gémeos ficar em repouso na Terra e o outro for passear a uma velocidade bastante elevada (quando digo bastante elevada, convém que seja na ordem dos 90%, ou mais, da velocidade da luz, para que se note uma distorção substancial), quando se voltarem a encontrar, o gémeo que ficou parado será mais velho que o seu irmão que nasceu no mesmo dia!

Analisando a expressão para o espaço, advém a “contracção espacial”, pois como desta vez o γ está em denominador, isso significa que quando v é grande, logo γ também é grande, o que faz diminuir L em relação a L0, ou seja, o observador em repouso vê objectos a contraírem-se quando estes andam a elevada velocidade. A mesma “imagem” irá ter aquele que vai a viajar, pois no referencial dele os outros é que se movem.

Legenda: “O ciclista parece ser inacreditavelmente magro (comprimido).”

O ciclista estará evidentemente a viajar a uma velocidade próxima da da luz.

Legenda: “À medida que ele ganha velocidade, os quarteirões da cidade tornam-se algo pequenos.”

Analisando as expressão para velocidades muito pequenas (caso não relativístico, ou seja, onde a relatividade é desprezável), temos que v / c será um número reduzido, bem como o seu quadrado, pelo que ao se subtrair esse número a 1, fica aproximadamente 1, ou seja, o γ será 1. Assim as distâncias e tempos não sofrem qualquer alteração, tal como estamos habituados no nosso quotidiano.

Alguma dúvida ou reparo a fazer, é favor dizer!

Marinho Lopes

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22 thoughts on “Relatividade Restrita

  1. Boa noite,

    No “paradoxo dos gémeos”, porque seria o gémeo que ficou em repouso mais velho? Não percebi bem essa parte.

    Obrigado desde já.

    • Bom dia,
      O gémeo que foi “passear” a uma elevada velocidade “viu” o seu tempo a “andar” mais devagar, em relação ao do outro gémeo, daí que não tenha envelhecido tanto quanto o que ficou em repouso. Notar que não foi a sua noção de tempo que se alterou, mas sim o próprio tempo. Se antes de se separarem tivessem ligado dois cronómetros em simultâneo e cada um ficasse com um, quando se voltassem a encontrar (depois do passeio de um dos gémeos), iriam verificar que o cronómetro que tinha ficado em repouso assinalava um maior tempo do que aquele que tinha ido viajar.

      • Mas porquê? Por t=d/v? Fiquei com a ideia de que o que se alteraria seria a noção do tempo que o gémeo tinha e não o tempo mesmo. Desculpa a insistência mas gostava de perceber essa parte. Obrigado.

  2. Não, aqui a noção não se altera, porque isto não é uma ilusão, é mesmo um questão física. Se quiseres nem precisas de usar seres humanos, podes simplesmente enviar um relógio (que no seu referencial continuará sempre a funcionar correctamente e a medir o tempo correctamente).

    A forma como nos movemos no espaço-tempo pode ser entendido como um vector (de norma, ou seja, comprimento, constante) num espaço 2D. Imagina um sistema de coordenadas no qual o eixo X colocas tempo e no eixo Y colocas espaço – a projecção em cada um destes eixos do vector representa a sua “velocidade” no tempo e espaço, respectivamente. Quando a velocidade espacial é nula, o vector tem a direcção do eixo X, ou seja, estamos a “andar à velocidade temporal máxima”. Se o corpo ganhar velocidade espacial, então o vector passa a ter uma projecção em ambos os eixos – como o comprimento do vector é constante, isso implica que a projecção em X é agora mais pequena, portanto o tempo passou a andar mais devagar. No limite, quando a velocidade espacial é a velocidade da luz, o vector está completamente projectado no eixo Y, ou seja, o tempo não “passa” (como acontece para os fotões).

    Não sei se quererás que explique melhor a parte matemática.

  3. Percebi a analogia cartesiana mas como poderia a velocidade espacial ser nula? Se há velocidade, há, necessariamente, deslocamento, certo? Ou estou a misturar algo que não devia?

    • Com velocidade espacial nula eu queria dizer: repouso (ainda que estejamos num corpo em movimento, mas isso não é relevante). Quando estamos parados, o nosso deslocamento é nulo no espaço, mas no tempo não – ele continua…

  4. Exatamente. Mas nessa situação, não há velocidade, pois não? Ou referes-te à velocidade com que o tempo passa? Se assim o é, nós não a influenciamos, correto?

    • Não há velocidade espacial, mas há velocidade temporal. A projecção em cada um dos eixos pode ser entendida como velocidade temporal e velocidade espacial, se assim for mais simples de perceber. Nós influenciamos ambas as velocidades: quando estamos com velocidade espacial nula, a velocidade temporal é máxima. Quando começamos a “andar” com velocidade espacial, a velocidade temporal diminui. Quanto maior a velocidade espacial, menor a velocidade temporal.

      • Então, se nos deslocarmos, o tempo passa mais devagar do que se estivermos em repouso? Isto é, havendo velocidade espacial, a velocidade com que passa o tempo é menor?

  5. Já percebi. E há alguma coisa que se aproxime minimamente dessas velocidades à excepção da luz?

    • Há. Os muões (bem como outras partículas) que chegam à Terra vindos do espaço, por exemplo. Ou as partículas que aceleramos no CERN. Mas em “coisas” do nosso quotidiano, não creio que haja exemplos, para lá da luz.

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  10. QUANTO À DISTORÇÃO DO TEMPO PUBLIQUEI EM TEMPOS : admita-se que um combóio viaja a 240.000 kms/seg , ou seja 80% * c ( c = velocidade da luz ) e que dentro do comboio o relógio regista 6 segundos o tempo de a luz a ir ao tecto e voltar ao solo : quanto tempo se regista no relógio de um observador estacionado fora do combóio na estação ? a) Cálculo pelo factor de Lorentz : ( 1 – 0,8^2 ) = 0,36 ; raiz de 0,36 = 0,6 ; ; 6 /0,6 = 10 ; 10 segundos é quanto marca o relógio da estação b) AGORA CALCULEMOS PELO TEOREMA DE PITÁGORAS : SE NA ESTAÇÃO O RELÓGIO MARCA 10 SEGUNDOS … QUANTO MARCA O RELÓGIO DENTRO DO COMBOIO ? …………………….Imagine-se que dentro do comboio se projecta uma luz para o tecto de comboio e é reflectida para a base ; o observador dentro do combóio vê a luz ir ao tecto e voltar na vertical visto que em relação e ele o comboio está como parado ; mas o observador fora do combóio vê a luz dentro do combóio a ir ao tecto e voltar ao chão na forma de um triângulo visto que em relação a ele o comboio anda ; a base desse triângulo tem 10 * 240.000 = 2.400.000 kms ( metade = 1.200.000 kms ) e a luz percorre 3.000.000 kms ( 10x 300.000 kms/seg ) já que A VELOCIDADE DA LUZ Á MÁXIMA E NÃO SE PODE SOMAR À VELOCIDADE DO COMBÓIO ; ( metade = 1.500.000 kms ) ; assim os dois lados iguais dos triângulos rectângulos ( metade do triângulo que o observador fora do combóio vê a luz percorrer dentro do combóio a ir ao tecto e voltar ao chão ) , ou seja , cada cateto dos triângulos rectângulos formados com a altura ( h ) tem 1.500.000 kms ; 1.500.000^2 = 1.200.000^2 + h^2 ; donde h = raiz q. de ( 1.500.000^2 – 1.200.000^2 ) = 900.000 : como a luz vai ao tecto e vem , percorre 900.000 *2 = 1.800.000 kms ; como a luz anda a 300.000 kms/seg 1.800.000/ 300.000 dá 6 ; 6 segundos marca o relógio dentro do comboio ! qqd . OU SEJA : ENQUANTO FORA DO COMBOIO EM REPOUSO DECORRERAM 10 SEGUNDOS … NO COMBOIO EM MOVIMENTO DECORRERAM APENAS 6 SEGUNDOS . Nota : ^2 significa => ao quadrado .

    • Obrigado pela partilha. É um cálculo simples, mas elucidativo. 🙂

      Cumprimentos,
      Marinho

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