Método de Pi de Buckingham

Este é um método usado em laboratórios, em problemas de hidrodinâmica principalmente.

Faço desde já notar que este artigo é algo técnico e talvez não seja de fácil compreensão para o leitor leigo. De qualquer forma, poderão usar os comentários para requisitar esclarecimentos.

Tendo um problema físico qualquer, em que se desconhece a relação entre as variáveis físicas envolvidas, é possível achar uma relação entre elas usando o Método de Pi de Buckingham.

Para explicar como se aplica, vou usar um exemplo simples. Consideremos um pêndulo simples, sobre o qual se pretende obter a relação entre o período e as restantes variáveis físicas presentes.

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Começa-se por identificar as grandezas físicas presentes:

  • Comprimento do fio – l (dimensão – [L])
  • Aceleração gravítica – g (dimensão – [LT^{-2}])
  • Força aplicada sobre a esfera – f (dimensão – [F]) [sistema de unidades CGS que neste caso simplifica, senão teria que ser escrito como MLT^{-2} no sistema internacional de unidades (S.I.)]
  • Período – P (dimensão – [T])

Em seguida identificam-se as grandezas independentes (neste caso são F, L e T).

Tem-se então que o “número de π’s” é igual à subtracção entre o número de variáveis total com dimensão e o número de grandezas independentes. Neste caso fica: nº de π’s  = 4-3=1. Isto significa que o nosso π do problema é uma constante. Se o resultado tivesse dado um número superior a 1, então significaria que o nosso π seria função desse (número-1) variáveis. O nºde π’s é sempre maior ou igual que um.

Seguidamente iguala-se o nosso π ao produto de todas as variáveis envolvidas que tenham dimensão, cada qual com um expoente indeterminado:

\pi = L^a g^b f^c P^d

Passa-se então cada variável para a sua dimensão correspondente – como é óbvio o π sendo uma constante não terá dimensão:

[] =[ L^a (LT^{-2})^b F^c T^d]

Tendo em conta o princípio da homogeneidade dimensional, que nos diz que as dimensões de uma equação têm que ser iguais entre os termos que a compõe, ou seja, não se somam grandezas com dimensões diferentes (não faz sentido somar uma velocidade com uma distância, por exemplo), tem-se uma condição suficiente para a determinação do expoente:

a+b=0

c=0

d-2b=0

Como é evidente, ter-se-á que fazer uma convenção para um dos expoentes. Como neste caso se pretende calcular o Período, o expoente deste fica 1, e portanto obtemos:

P=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{l}{g}}

O valor de π terá que ser calculado experimentalmente. Alternativamente, usando Física Newtoniana (e usando a aproximação para pequenos ângulos de oscilação), obtém-se:

\pi=\frac{1}{2\pi}

Note-se que o π do lado direito é o bem conhecido 3.14(…).

Quando π de Buckingham não é uma constante, ou seja, quando é função de certas variáveis, a sua determinação experimental torna-se mais complexa, ou até eventualmente impossível.

A razão pela qual partilhei aqui este método foi para ilustrar o quão poderosa pode ser a análise dimensional. Uma ideia tão simples como o “não fazer sentido somar maçãs com melões” permite em certos casos derivar expressões físicas desconhecidas!

Marinho Lopes

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2 thoughts on “Método de Pi de Buckingham

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