0.9(9)=1

Há uns anos atrás, quando aprendi as dízimas infinitas periódicas e me disseram que são números racionais, comecei a questionar-me:

“Humm… Existe o teorema que diz que entre dois números racionais existe sempre um número irracional! Nesse caso, entre 0.(9) e 1, que número existe? Como pode ele existir?”

A verdade é que não existe, porque eles são um só número, apenas representados de forma diferente.

Uma forma simples de constatar isto é pensar:

eq

Se multiplicarmos por 3 dos dois “lados”…

eq02

Como vêm, trata-se do mesmo número, mas “disfarçado”.

É possível demonstrar de uma forma mais elegante, usando a soma de uma série infinita (tal como proposto nos comentários).

eq03

Nesta demonstração usei o seguinte facto (progressão geométrica):

eq5

Isto é muito fácil de demonstrar. Primeiro deixem-me explicitar o que significa o somatório (a letra gregra sigma maiúscula):

eq1

Notem que se o módulo de r não for inferior a 1, esta soma dá infinito. Pode-se seguidamente fazer o seguinte “truque”:

eq2

Logo:

eq3

Portanto:

eq4

E finalmente:

eq5

O “truque” em causa permite-vos demonstrar muitos resultados de somas de séries.

Marinho Lopes

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24 thoughts on “0.9(9)=1

  1. Outra maneira muito boa de se ver isso é escrever 0.(9) como uma série geométrica e depois que o resultado dessa série geométrica é 1.

    Mas lembro-me há anos em que houve uma autêntica guerra na blogoesfera em inglês em que insultos foram trocados porque havia gente que se recusava a aceitar que 0.(9)=1.

  2. Já adicionei essa forma, é mais elegante, obrigado.

    Curiosamente, eu quando aprendi as tais dízimas infinitas periódicas, como disse, coloquei a questão à minha professora de matemática e ela não me soube responder! É certo que não fazia parte do programa saber responder à minha pergunta, nem tal significava que ela era uma má professora, ainda assim é de certo modo assustador notar que alguém com formação em matemática não saiba algo tão elementar quanto isto.

  3. Bom, de qualquer forma é bom ver o interesse que suscitou a questão.
    (Gostei da demonstração “teísta” lá colocada nos comentários!)

  4. A meu ver 0,(9) não é igual a 1. Da mesma maneira que 1/3 não é 0,(3) porque temos resto, 0,33333.. (…) foi apenas a maneira convencionada para representar 1/3. Se experimentarmos dividir 100 em 3 partes prácticas temos 3 partes de 33 cada uma. No entanto, o somatório dessas partes não é 100, mas sim 99. E 99, definitivamente, não é igual a 100 porque 100, tal como 1, não dá para dividir em 3 partes iguais sem ter resto. O tal resto é o que separa 0,(9) de 1, por infinitamente pequeno que seja.

    Da mesma maneira, 0,99999… não é 1.

    • amiga para você provar que o.99999999 é diferente, você teria que mostrar que existe um numero entre o.9999999 e 1, o que você nunca vai conseguir pois não existe, ou seja 0,99999999999=1, se você tivesse estudado limite saberia que é verdde

      • Apenas para acrescenter um pouco de lenha na fogueira li uma palestra de um professor que criticava a confusão que alguns faziam entre as series e seus limites. Para exemplificar note que a operação soma foi definida do corpo dos números reais para somar dois elementos por vêz. Logo podemos definir que somar uma quantidade finita de elementos é semelhante a somar dois elementos por vês até sobrar o resultado do somatório do número finito de termos. Porém isso foje ao padrão quando estamos tratando com o infinito. Logo é virtualmente impossível fazer uma soma infinita de termos. O que temos com as séries é a consideração da convergência não da igualdade. Semelhantemente o limite de (x²-4)/(x-2) quando x tende a 2 é 4 porém não há como a divisão ser quatro no ponto já que a função definida é descontínua nesse ponto. O cálculo infinitesimal tratou aqui do limite, a série irá tratar da convergência. Nem um nem outro definem uma igualdade expressamente como 2×2=4.

      • Esse exemplo não é muito feliz: (x^2-4)/(x-2)=(x-2)(x+2) / (x-2) = x+2 -> equação de uma recta, que não tem qualquer descontinuidade.

        Quando a soma é infinita, a convergência torna-se uma igualdade. Irei discutir a questão do paradoxo de Zeno no próximo artigo, que deverei publicar já amanhã.

        Cumprimentos,
        Marinho

  5. Isto não é uma questão de opinião, o que eu apresentei é exacto e não existe outra “verdade”. 1/3=0.(3) – são tudo convenções de como representar o número, mas ele é um só.

    É claro que 99 não é igual a 100, mas 100/3 é igual a 33.(3).

    Se quiseres podes pensar de outra forma além daquelas que apresentei: qual o número que adicionado a 0.(9) dá 1? Ora, do teu ponto de vista seria basicamente 0.(0)1, ou seja, um número com infinitos zeros e no “final” um 1. O problema é que o infinito não tem “final” e como tal o número que adicionado a 0.(9) que dá 1 é efectivamente 0.(0) que é igual a 0, como é evidente. Deste modo está provado que 0.(9) é 1, trata-se apenas de uma forma diferente de mostrar o mesmo número.

  6. Podes explicar ou mandar um link sobre a estrutura equacional da ultima expressão? É que nunca estudei algo naquela estrutura.

    • Aquilo que desconheces deve ser o símbolo de somatório:
      http://pt.wikipedia.org/wiki/Somatório

      Basicamente, se quiseres representar algo do género:
      1+2+3+4
      Podes simplesmente usar o símbolo de somatório, cuja índice inferior indica o começo, e o índice superior o “fim” do somatório da expressão que a seguir se indica. Ou seja, neste exemplo, seria o símbolo de somatório com um índice inferior do género: “n=1” e superior “4”, e a expressão seria simplesmente “n”. Significaria que estávamos a fazer com que ‘n’ começasse em 1, e fosse adicionado a n=2, a n=3, até n=4.

      Por outro lado, nessa última expressão uso um resultado conhecido da soma de séries infinitas, muito simples de demonstrar:

    • A última equação não pode ser analisada “caso a caso” – é a própria soma infinita que é igual a 1/(1-r), e não cada uma das parcelas. Como disse antes, r<1, logo o resultado proibido que fala não ocorre.

  7. 0.(9) = 1 é um absurdo, muitos já fizeram demonstrações de que 0.(9) = 1 mas um somatório infinito nada mas é do que uma integral, e o resultado de toda integra termina com “+ c” (constante infinitesimal).

    Como você mesmo disse no início do texto

     “Existe o teorema que diz que entre dois números racionais existe sempre um número irracional”

    Isso é verdade, pois 0.(9) é irracional. Matemática não é ciência exata como muitos, erroneamente, falam. É apenas uma ciência com um corte epistemológico muito pequeno.

    Espero que não tentem fazer comigo o que Pitágoras fez com Hipaso de Metaponto, quando este contrariou seu mestre afirmando que raiz de 2 existe.

    • Um somatório pode ser transformado num integral, mas ao contrário do que diz, os resultados dos integrais não acabam com “+c”. Isso acontece nas primitivas, quando o intervalo de integração não está definido. Neste caso o intervalo está definido!

      0.9(9) é uma dízima infinita periódica, e todas as dízimas infinitivas periódicas são números racionais.

      Quanto a chamar a Matemática de exacta ou não, basta dizer que se a Matemática não é exacta, então não existem Ciências exactas.

      Ao contrário de Pitágoras, desafio-o a aprender mais de Matemática. 🙂 Em Matemática não se discute com retórica, mas com demonstrações. Eu demonstrei neste artigo que 0.9(9)=1. Se não concorda, mostre que a minha demonstração está errada, ou de forma equivalente, mostre que 0.9(9) é diferente de 1.

  8. Cara Sophia estou aqui para tentar mais uma vez esclarecer sua indagação, não há mais nada o que demonstrar, pois a demonstração você já fez, basta agora perceber a sutileza do raciocínio.

    0,9∑_(n=1)^∞▒0,1ᶯ

    Perceba que o somatório “tende ao infinito” logo o resultado “tende a 1”. O infinito não é um número.

    Quanto a sua afirmação de que nem toda integral termina em “+c”, você precisa entender que isso só ocorre com as integrais definidas. Neste caso o “+c” não deixou de existir, apenas foi descartado por ser desprezível para um calculo que tem uma determinada aplicação material.

    Quanto ao seu raciocínio “se a Matemática não é exacta, então não existem Ciências exactas.”, SIM não existe ciência exata, apenas ciências com um corte epistemológico muito pequeno. Para você poder pensar veja o seguinte problema.

    Um homem vai atravessar um rio em uma canoa na seguinte circunstancia. Ele vai até o meio do rio e para, depois vai até a metade da parte que falta e para. Seguindo desta forma, indo até a metade do que falta e para, é certo que em dado momento estará “infinitesimalmente” peto da margem que pode saltar para o outro lado com tranquilidade. Mas ai vai a pergunta, matematicamente quando é que ele chega do outro lado?

    Quanto ao seu desafio grosseiro, minha resposta é:
    Você é quem deve aprender o que é matemática, ela não se trata apenas de fazer conta. Vi sua resposta no dia seguinte a minha postagem e não ia me dignar a te responder, só estou respondendo hoje pois estava sem sono e tinha de fazer algo para tentar dormir, tenho de dar aula amanhã. Se depois de tudo isso você ainda não for capaz de entender que 0,(9) não é igual a 1 e que trata-se de um número irracional, então lamento por você estar entre o grande número de pessoas sem visão, não se acanhe pois neste enorme número de pessoas incapazes estão muitos matemáticos. Enfim ou você é capaz de perceber essa sutileza ou não, não há meio termo. Uma noite feliz.

    Um grande abraço de Hipaso.

    • Caro Hipaso,

      Em análise assimptótica deve-se sempre indicar quais os termos desprezados (normalmente usa-se a notação do grande ‘O’ de Bachmann-Landau). Se a aproximação existe, deve ser indicada – faça o favor de indicar esse termo que tende para zero quando ‘n’ tende para infinito.

      Uma dízima infinita periódica é um número racional. Como o nome indica, um número racional é um número que pode ser escrito na forma de uma razão (fracção). As dízimas infinitas periódicas podem efectivamente ser escritas na forma de fracções, como ilustrei no artigo para o caso de 1/3.

      “Se depois de tudo isso” – isso o quê? A sua resposta não tem basicamente nenhum conteúdo. O problema do infinito é bem conhecido e é efectivamente difícil de o compreender correctamente. Eu consigo perceber perfeitamente a subtileza a que se refere. Aliás, existem vários exemplos e “paradoxos” relacionados com o infinito, como o “hotel de Hilbert”. Contudo, em todos eles, é possível apresentar os argumentos matemáticos que suportam a solução conhecida. Eu só lhe peço que também faça a demonstração, ao invés de me pedir que “entenda” a “subtileza”.
      A questão que propõe é a soma infinita de (1/2)^n. Usando a fórmula que mostro no artigo (e subtraindo o termo de n=0, que é 1), o resultado é 1, como seria de esperar intuitivamente. Ou seja, o homem demora um tempo infinito a chegar ao outro lado do rio (o que em termos práticos significa que não lá chega). A diferença é que os números em si são intemporais, pelo que o 0.9(9) tem “todo” o tempo infinito de chegar a ser 1, pelo que na verdade é o mesmo número. Do mesmo modo, quando se faz 0.3(3) x 3, não nos temos que preocupar se o 3 é efectivamente “capaz” de multiplicar os 3’s todos na dízima infinita: é-o por definição, pelo que 0.3(3) x 3 é mesmo efectivamente igual a 0.9(9). Não existe qualquer aproximação. Usando a representação de fracções, compreende-se que 0.9(9)=1, como demonstro no artigo.

      Pode-lhe parecer um desafio grosseiro, mas é um desafio sincero (e não tinha intenções de o ofender), porque a ideia que me transmitiu com os seus comentários é que efectivamente lhe falta maior conhecimento neste assunto. Se tem o conhecimento que alega, por favor não se coíba de o demonstrar. (No que toca a dar aulas, eu também já as dei, mas isso não faz de mim dono da razão.)

      Cumprimentos,
      Marinho

  9. jovem por favor se tu acha q não existe um numero irracional entre dois racionais por favor apresente uma grande tese pra vc ser o o novo criador da construção dos numeros reais

  10. Tomemos dois números racionais: (1,5 e 1,6).

    Agora, você concorda que:

    _ (1,50863782934…..) é um número irracional?
    _ e que está entre 1,5 e 1,6?

    Em (1,5), podemos colocar qualquer algarismo após o 5, que teremos um número maior que (1,5) e menor que (1,6).

    Observe que, no número acima (1,50863782934…..), colocamos o algarismo 0 (após o 5).
    Apenas com ele, já podemos formar infinitos números (racionais ou irracionais).
    O mesmo acontece se for colocado (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ou 9).

    E se no mesmo número (1,50863782934…..) colocarmos um algarismo (ex: o 4) entre o 8 e o 6?
    Teremos (1,508463782934…..), que é maior que (1,508) e menor que (1,509), além de estar também entre os dois racionais (1,5 e 1,6).
    A verdade é que a infinidade dos números é bem maior do que se imagina, e existe até entre dois decimais quaisquer, por mais próximos que estejam.

    • O seu comentário é algo despropositado, porque por um lado não se enquadra bem na presente discussão (onde se pretendia demonstrar que existem dízimas infinitas periódicas que coincidem com a “definição” de número inteiro); e por outro não apresenta uma demonstração criteriosa.

      Note, por exemplo, que a sua hipótese “(1,50863782934…..) é um número irracional” não foi demonstrada. Assumo que queria dizer que pretende usar o exemplo de uma dízima infinita não periódica.

      Naturalmente, o seu raciocínio está certo: entre quaisquer dois números diferentes entre si é possível encontrar um conjunto infinito de números reais. No entanto, não é essa a questão que abordo neste artigo. A questão é: entre 0.99(9) e 1, que são dois números racionais, existe algum número irracional? Não, porque eles são o mesmo número, como demonstro no artigo.

      Cumprimentos,
      Marinho

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