Contas de Cabeça!

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A pedido de algumas famílias, segue-se um artigo bastante simples sobre contas de cabeça, mas que ainda assim espero que possa servir de alguma coisa a alguém. Ao contrário da maioria dos outros artigos que aqui tenho publicados, este será um artigo “aberto”, ou seja, sempre que me lembrar poderei vir aqui acrescentar mais alguma coisa.

Há quem tenha mais facilidade a fazer contas de cabeça do que outras pessoas, no entanto, creio que todos podem melhorar se treinarem. Neste artigo vou dar algumas dicas de como pensar nas contas, de modo a torná-las mais simples na nossa cabeça, usando métodos que à partida são vossos conhecidos. Simultaneamente irei apresentando outros pequenos truques, ou chamadas de atenção, com o intuito de que algumas noções possam ficar mais claras para todos. Não pretendo ofender a inteligência de ninguém, portanto sempre que acharem algo muito simples, simplesmente ignorem e passem à frente.

Somar

Vou começar pela operação mais simples, a primeira a ser aprendida pelas crianças. Imaginando que queremos fazer “47+78”, como é que o fazem de cabeça?

O método mais simples, do meu ponto de vista, e que creio que a maioria das pessoas irá usar intuitivamente é a “decomposição” dos números: 47=40+7 e 78=70+8, logo, 47+78=(40+70) + (7+8)=110+15=125.

É claro que tendo números maiores que a centena, talvez dê jeito fazer uma decomposição diferente, ou mais decomposições (o que já se poderá tornar confuso).

Nesse caso, eu costumo pensar do mesmo modo como se fazem as contas no papel, em que se colocava um número debaixo de outro… Tendo “534+297”, primeiro somam-se as unidades, depois as dezenas e finalmente as centenas, tendo apenas o cuidado de verificar se a soma é superior a 9, pois nesse caso tem que se somar uma unidade à conta seguinte. Na verdade, o que se está a fazer nesse caso é bastante semelhante ao que se fez anteriormente, ainda que não estejamos a pensar no processo deste modo:

534+297=(4+7) + (3+9)\cdot 10 + (5+2)\cdot 100 = 1 + (1+3+9)\cdot 10+(5+2)\cdot 100 = 1+30+(1+5+2)\cdot 100= 1+30+800=831

Embora o processo que é ensinado na escola seja intuitivo, isto é, qualquer pessoa compreende porquê que funciona, infelizmente não se costuma mostrar o porquê dele ser verdadeiro, como aqui mostrei com este exemplo. (Nota: a multiplicação pode ser representada com um ponto, como aqui uso.)

Se estiverem a somar mais que dois números em simultâneo, podem usar estes mesmos “métodos”, ou então ir somando sucessivamente.

Já agora, aproveito para esclarecer a noção nem sempre compreendida de que a subtracção não é mais que um caso particular da soma: simplesmente o número somado é negativo (daí que “mais com menos dê menos”). Do mesmo modo, a divisão é um caso particular da multiplicação: o número multiplicado é inferior a 1 (por exemplo, dividir por 2 é o mesmo que multiplicar por 0,5).

Multiplicar

O método que se usou na soma, pode ser usado na multiplicação de modo semelhante, só têm que aplicar as regras básicas:

51\cdot 78=(50+1)\cdot(80-2)=50\cdot 80-50\cdot 2+80-2=4000-100+78=4000-22=3978

A única dificuldade poderá ser o ter que ter em simultâneo quatro contas na cabeça. Podem, porém, fazer de uma forma mais sequencial, começando apenas por fazer 50.78, e depois somar 78.

Outro problema que algumas pessoas têm é que já não se lembram bem da tabuada para números superiores a 5. O “método” pode ser aplicado também nesses casos, substituindo por exemplo apenas um dos números por uma soma, ou uma multiplicação:

7\cdot 8=7\cdot(4\cdot 2)=7\cdot 4\cdot 2=(7\cdot 4)\cdot 2=28\cdot 2=(30-2)\cdot 2=30\cdot 2-2\cdot 2=60-4=56

No caso de divisões, que como disse, são um caso particular da multiplicação, podem também aplicar a mesma “técnica”: podem sempre trocar um número pela multiplicação de dois (ou mais), ou à soma de dois ou mais números (embora neste caso tal só seja vantajoso se o número “alterado” estiver no numerador). Exemplo:

Notar que:

Quadrados

O quadrado de um número é a multiplicação dele por si próprio (o quadrado de A é AxA). Chama-se quadrado, fazendo a analogia com a geometria, ou seja, trata-se da área do quadrado cuja aresta tem de comprimento o número em causa.

Neste caso podem-se usar os “casos notáveis”. Vou relembrá-los para quem não se lembra:

(a+b)^2=(a+b) (a+b)=a^2+2 a b+b^2

(a-b)^2=(a-b) (a-b)=a^2-2 a b+b^2

(a+b) (a-b)=a^2-b^2

Na verdade, o primeiro é igual ao segundo, porque ‘a’ e ‘b’ podem ser tanto números positivos, como negativos (até podem ser números complexos). Qualquer um dos “casos notáveis” é fácil de demonstrar, basta fazer as multiplicações (notar que a multiplicação também pode ser simbolizada sem qualquer sinal, como aqui usei). De modo semelhante, podem pensar em termos geométricos, caso tenham maior facilidade a entender áreas:

md.0000032086

Assim, podem usar isto do mesmo modo que se usou anteriormente as outras propriedades:

Se tiverem a subtracção entre dois quadrados, já estão a ver o que fazer (usar o terceiro “caso notável”):

34^2-26^2=(34+26)\cdot (34-26)=60\cdot 8=60\cdot 4\cdot 2=240\cdot 2=480

Por vezes o quadrado pode estar já feito, mas se os reconhecerem, poderão fazer o mesmo:

É claro que isto já é pouco proveitoso, porque normalmente as pessoas não conhecem muitos quadrados, apenas os mais pequenos, onde isto não tem grande utilidade, visto que se pode fazer directamente, como mostrei antes:

121-64=120-60+1-4=60-3=57

Infelizmente, na escola, os professores tendem apenas a ensinar os alunos a usar estas regras simples que aqui usei (distributiva, associativa, etc.) apenas num sentido, esquecendo-se de mostrar aos alunos como usá-las no sentido inverso, como aqui mostrei, o que, como vêm, pode ser útil.

Bom, para já é tudo. É claro que ninguém ficou a saber fazer melhor contas de cabeça tendo lido isto, pois só com a prática é que se vai lá. A quem não aprendeu nada, peço desculpa. Apenas usei propriedades simples, para que o artigo fosse mais visado a quem aprendeu menos de matemática. É claro que, usando por exemplo derivadas, integrais, expansão de Taylor, etc., é possível simplificar muitas outras “contas” ou problemas, no entanto, quem aprendeu isso parece-me que já terá aprendido suficiente matemática para o fazer por si próprio se o desejar.

Estejam à vontade para darem sugestões, ou partilharem os vossos próprios “métodos”.

Marinho Lopes

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10 thoughts on “Contas de Cabeça!

  1. Olá!

    Comecei a seguir os seus posts no AstroPT e, navegando por aí, vim dar com o seu blog e deparar-me com este artigo. Fugindo um pouco ao tema de se fazer contas de cabeça, queria saber: como se podem calcular raízes à mão?

    Muitos parabéns pelos seus contributos ao Saber!

    • Olá Sérgio, obrigado pelo seu interesse.

      Não existe propriamente um método único de resolver raízes à mão, ainda que haja algumas técnicas que possam ajudar. Eu pessoalmente, acho que ajuda bastante saber usar os casos notáveis de cima, caso seja possível, usando-os ao “contrário” do habitual. Ou seja, tendo um dado número, é conveniente conseguir discernir que soma/ subtracção de números ao quadrado dá aquele resultado. Para isso, ter-se-á que decompor o número na soma de dois quadrados, mais/ menos o dobro da multiplicação deles.

      Por exemplo, qual a raiz de 169? Vemos logo que 9 é o quadrado de 3, e temos então que lidar com os 160, sabendo desde já que 169 = a^2 +2*3*a+9 160 = a^2 + 6a. Daqui é logo fácil de “adivinhar” que a=10.

      Já vi outras técnicas, mas todas acabam por exigir o mesmo desta: convém conhecer os quadrados de pelo menos, digamos, até 10, para que seja rápido fazer estas contas de cabeça (que são como que um jogo de tentativa e erro).

      É claro que se não nos for garantido que a raiz dá um número inteiro, tudo se torna mais complicado…
      Em muitos casos será possível usar as expansões de Taylor, que nos dão boas aproximações (neste caso dará jeito saber algumas de cor).

  2. Pingback: Demonstração do Teorema de Pitágoras | Sophia of Nature

  3. Pingback: Violação da conservação da energia? | Sophia of Nature

  4. Muito boas, as dicas, fazer contas de cabeça é sempre bom para fazer o cérebro pensar um pouco, mesmo que sejam meio complicadas. É bom usar calculadora só para confirmar os resultados ou se forem contas muito complicadas e você não está com tempo.
    Até.

    • Obrigado, ainda bem que gostou. 🙂 Se tiver outras técnicas, sinta-se à vontade para as partilhar.

      Cumprimentos,
      Marinho

  5. Pingback: Índice de Artigos | Sophia of Nature

  6. Pingback: Demonstração da Fórmula Resolvente | Sophia of Nature

  7. Muito interessante, lembro-me que fazia muitas contas de cabeça no colegial. Agora enferrujei pois estou em um curso de uma área totalmente diferente (direito), esse post deu uma relembrada boa! São praticamente as mesmas estrategias que eu usava por intuição.
    Adoro esse blog

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