Paradoxos da Razão – Parte II

paradoxo

 Um paradoxo é uma contradição, é como que uma falha lógica. Assim, como é que o pensamento racional poderá conduzir a paradoxos? A questão em si parece ser paradoxal, a menos que a razão nos pregue partidas.

Na parte I falei-vos dos paradoxos de Zeno, do paradoxo da roda de Aristóteles, e do problema da corda à volta da Terra. Nesta segunda parte vou abordar o Paradoxo de São Petersburgo, o Princípio da Casa de Pombos, e a Fita de Möbius. Na verdade nenhum deles é verdadeiramente um paradoxo, mas são suficientemente “estranhos” para o parecerem!

Paradoxo de São Petersburgo

coin_flip_s

Proponho-lhe jogarmos o seguinte jogo: lançamos a moeda ao ar, se sair coroa, dou-lhe 2€. Se sair cara e coroa dou-lhe 4€. Se sair cara, cara, e coroa, dou-lhe 8€. Ou seja, o jogo acaba quando sai coroa, e eu dou-lhe 2^n €, em que ‘n’ é o número de vezes que a moeda foi lançada ao ar (por exemplo, para cinco lançamentos, n=5, 2^5=2x2x2x2x2=32). Quanto me deverá você pagar antes de aceitar o meu desafio para que seja justo jogarmos o jogo? Por outras palavras, quanto dinheiro devo eu exigir que você me pague antes de jogarmos, para que a probabilidade de eu ficar a ganhar dinheiro com o jogo seja semelhante à probabilidade de você enriquecer com o jogo?

De forma empírica seríamos levados a indicar um valor não superior a 20€, mais ou menos, visto que a probabilidade de ganhar mais que 20€ (sair pelo menos 4 vezes seguidas cara) parece já bastante baixa: 1/32, cerca de 3%. Contudo, devemos reparar que quanto menor é a probabilidade, maior é o ganho.

A questão resume-se então a tentar estimar quanto é que você poderá ganhar com o jogo. Com 50% de probabilidade irá receber 2€; com 25% de probabilidade irá receber 4€; com 12.5% de probabilidade irá receber 8€; e assim sucessivamente. Para quem sabe um pouco de matemática, em particular de estatística, saberá que o valor esperado do montante a receber pelo jogador é dado pela soma dos ganhos a multiplicar pelas respectivas probabilidades:

Valor esperado = 2x(1/2)+4x(1/4)+8x(1/8)+… = 1+1+1+1+1+…= infinito

O montante que você poderia receber diverge – não tem um limite! (Em termos práticos existe sempre um limite, claro.) Isto significa que você deveria aceitar jogar independentemente do valor (finito) que eu lhe exigisse! Mais uma vez (ver parte I) temos uma noção contraditória relacionada com o infinito! Naturalmente, se levarmos em conta as limitações monetárias dos intervenientes, já será possível calcular o valor justo para entrar no jogo.

Este problema foi discutido em 1738 pelo matemático, físico e médico, Daniel Bernoulli, num artigo publicado numa revista científica de São Petersburgo (Commentaries of the Imperial Academy of Science of Saint Petersburg), daí o nome de Paradoxo de São Petersburgo. Note-se que de acordo com a Teoria de Jogos, um “jogador racional” deve aceitar pagar um dado montante para entrar num jogo se o lucro expectável for superior ao montante exigido. Neste caso, em condições idealizadas, o jogador racional (matemático) aceitaria sempre jogar. Em contraste, o nosso bom senso dir-nos-ia para não jogar se a quantia exigida implicasse uma probabilidade relativamente baixa de beneficiarmos com o jogo.

Existem diversas resoluções para este paradoxo, mas não as menciono aqui para que o leitor tenha uma maior liberdade criativa para pensar neste problema.

Princípio da Casa de Pombos

TooManyPigeons

Este princípio é também conhecido por teorema de Dirichlet ou princípio das gavetas de Dirichlet, tendo sido introduzido em linguagem matemática pelo matemático alemão Johann Dirichlet em 1834. Este princípio é extremamente intuitivo e do mais simples que pode haver: se tivermos um número X de casas de pombos, e um número Y de pombos, então haverá casas de pombos com mais de um pombo, caso o número de pombos seja superior ao número de casas (Y>X).

Com base neste princípio posso dizer-lhe que é possível encontrar duas pessoas em Portugal com o mesmo número de cabelos! O número de cabelos de uma pessoa é sempre (bastante) inferior a um milhão (X=1000 000), e em Portugal existem cerca de dez milhões de habitantes (Y). Então, como Y>X, tem que haver indivíduos com o mesmo número de cabelos.

Curioso como um princípio tão simples consegue conduzir-nos a conclusões que parecem transcender o princípio. Caso tenha ficado confundido com o exemplo de cima, exponho um exemplo mais simples: quantas pessoas precisa reunir para que tenha a certeza absoluta de que pelo menos duas fazem anos no mesmo dia? Neste caso o número de pombos corresponde aos dias de aniversário, portanto X=366 (contando com o 29 de Fevereiro). Para que possa usar o princípio, precisa que Y seja maior que X, em que Y neste caso é o número de pessoas. Para que Y seja maior que X, basta que Y seja 367. Assim, se reunir 367 pessoas garante que pelo menos duas delas tenham o aniversário no mesmo dia.

Realço que este princípio dá-nos certezas e não apenas probabilidades. Não é estritamente paradoxal, mas é de certo modo contra-intuitivo.

Fita de Möbius 

MobiusStrip-01

A imagem acima representa a chamada Fita de Möbius. Analise-a bem, e experimente a imaginar-se a percorrer a superfície da fita, ou a percorrer a sua linha delimitadora. Chegará à conclusão que a fita é uma superfície só com um lado, e só tem uma linha que a delimita!

Não se trata apenas de uma construção gráfica! Desafio o leitor a fazer uma fita de Möbius! Como? O material que precisa é o seguinte: uma folha A4, e fita-cola (ou um agrafador). Para ajudar na construção, traga também uma caneta e uma tesoura (embora sejam desnecessários).

Primeiro faça uma pequena fita com a folha A4, digamos um rectângulo com cerca de 30 cm por 3 cm. Dum lado da fita, numa extremidade escreva um A, e na outra extremidade escreva um B. Vire a fita ao contrário e escreva um C na extremidade do lado do B, e um D na extremidade do lado do A. Com a fita faça um anel. Ao juntar as extremidades fica com o A e o B de um lado, e o C e o D do outro. Para transformar o anel numa fita de Möbius tem que virar uma das pontas de modo a ficar com B e o D do mesmo “lado” (o que faz com que o A e o C fiquem também juntos, claro). Cole a fita com as extremidades nessa posição e terá uma fita de Möbius.

Mobius_band_making

Não há registos sobre esta curiosa forma geométrica até ao século XIX! Tanto quanto se sabe, só em 1858 é que o matemático alemão August Möbius descobriu a “sua fita”. Note-se que uma consequência de a fita de Möbius só ter um lado é que se tentar pintar um “lado” da fita acaba por a pintar toda.

A fita de Möbius não é apenas uma curiosidade com aplicações em arte. Trata-se de um “elemento” fundamental em Matemática, e (de certo modo consequentemente) tem aplicações em Física (nomeadamente na estrutura de moléculas).

Esta forma matemática não tem nada de paradoxal, contudo temos que concordar que é suficientemente estranha para parecer à primeira vista uma forma impossível.

moebius_escher_anim

Sintam-se à vontade para discutir os “paradoxos” nos comentários. Na próxima parte irei discutir outros paradoxos famosos.

Digitalizar0001

Marinho Lopes

Anúncios

5 thoughts on “Paradoxos da Razão – Parte II

  1. Pingback: Paradoxos da Razão – Parte III | Sophia of Nature

  2. Pingback: Outros divulgadores de Ciência | Scientificus

  3. Pingback: Paradoxos da Razão – Parte IV | Sophia of Nature

  4. Pingback: Paradoxos da Razão – Parte V | Sophia of Nature

  5. Pingback: Índice de Artigos | Sophia of Nature

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s