O Fascínio dos Números – Parte II

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Na primeira parte discuti um pouco da filosofia sobre a existência dos números, e apresentei-vos os números naturais, inteiros, racionais, irracionais, transcendentais e reais.

Como vos disse, com os números reais é possível representar qualquer quantidade, pelo que poderiam questionar-se sobre o porquê de a “história” não ficar por aqui. Já vão perceber porquê…

Para lá dos números reais, surgem-nos os números imaginários. Um número imaginário é dado pelo produto de um número real com a raiz quadrada de -1:

\text{imagin\'ario} = \text{real} \times \sqrt{-1}

Quanto é raiz quadrada de -1? Ou seja, qual o número que multiplicado por si próprio dá -1? Como pode ele existir? Se multiplicarmos um número positivo por si próprio obtemos um número positivo, e o resultado também é positivo se multiplicarmos um número negativo por si próprio. Quer dizer que a raiz quadrada de -1 não existe (daí o nome “imaginário”). Para quê inventar números que não existem? Porque podem ser úteis!

Estes números foram primeiramente concebidos pelo matemático grego Herão de Alexandria (10 d.C. – 80 d.C.), mas mantiveram-se inúteis e desprezados durante vários séculos. Até que, em 1545, Girolamo Cardano publica o primeiro livro de álgebra da Renascença: o famoso “Ars Magna”. Nele, talvez de forma algo negligente e “inconsciente”, Cardano faz renascer os números imaginários, ao escrever: “Desprezando torturas mentais, e multiplicando 5+\sqrt{-15} por 5-\sqrt{-15}, obtemos 25-(-15). Portanto, o produto é 40.” Este é o primeiro cálculo conhecido envolvendo estes números. Apesar da raiz quadrada de um número negativo não existir, isso não nos impede de o usar.

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Girolamo Cardano (1501-1576) – Um homem renascentista, ou seja, um polimata italiano que se destacou em Matemática, Física, Medicina, Química, Biologia, Filosofia, Religião, e Música. A lenda conta-nos que Cardano previu correctamente a data da sua morta, profecia esta que teve o cuidado de assegurar certeira suicidando-se nesse dia.

A introdução formal dos números imaginários foi feita poucos anos depois, por Rafael Bombelli. Este engenheiro italiano introduziu a notação de \sqrt{-1} como a solução da equação

x^2+1=0

Ainda assim, os números imaginários continuaram a ser olhados de forma reticente. René Descartes (1596-1650) referiu-se a eles como “imaginários” para os insultar – denominação que ficou. Já no século XVIII, Leonhard Euler (1707-1783) introduziu o i para simbolizar a raiz quadrada de -1. Com os trabalhos dele e de Carl Friedrich Gauss (1777-1855), os números imaginários deixaram de ser uma mera curiosidade, para passarem a ser uma base de importância essencial em Matemática. Não é um exagero afirmar que a Física e a tecnologia do século XX não existiriam sem estes números!

Com os números imaginários, podemos definir um novo conjunto: números complexos. Do mesmo modo que os irracionais deram origem aos números reais (que incluem irracionais e racionais); os números imaginários dão origem aos números complexos que incluem reais e imaginários. Se preferirem, podemos definir um número complexo como a soma de um número real com um número imaginário:

c=a+bi

Onde ‘c’ é complexo, e ‘a’ e ‘b’ são reais.

Que outros números inventaram (ou descobriram?) os matemáticos?

Já em finais do século XIX surge um novo género: os números transfinitos. Estes números foram introduzidos por Georg Cantor para denotar o tamanho relativo de conjuntos infinitos. Como referi na primeira parte, Cantor demonstrou que a maioria dos reais eram transcendentais. Além disso, provou muitos outros resultados contraintuitivos: por exemplo, o tamanho relativo do conjunto dos números inteiros é igual ao tamanho relativo do conjunto dos números pares. Parece tratar-se de um absurdo, visto que os pares são um subconjunto dos inteiros. Como pode um subconjunto ter o mesmo “tamanho” que o conjunto do qual faz parte? Pode porque ambos são infinitos (a nossa definição comum de “tamanho” não funciona neste caso). Para conjuntos infinitos a lógica que se deve usar, segundo Cantor, é uma correspondência de um para um. Se para cada número inteiro conseguimos encontrar um número par respectivo (basta multiplicar esse inteiro por 2), então os conjuntos têm o mesmo tamanho relativo. (É a mesma lógica que afirmar que existem tantas pessoas quanto cérebros humanos no mundo, assumindo que cada pessoa tem um cérebro, sem termos que verificar uma a uma.) Cantor demonstrou ainda que a mesma “associação” pode ser feita entre os racionais e os inteiros (ainda que, como disse na primeira parte, existam infinitos racionais entre quaisquer dois inteiros)! A “correspondência” entre racionais e reais já não é possível, havendo na verdade muitos mais reais que racionais (por causa dos transcendentais). Portanto, há infinitos de “tamanhos” diferentes! Na verdade, Cantor mostrou ainda que há infinitos conjuntos de “tamanhos” diferentes! Porém, o que Cantor não conseguiu mostrar é se existe um (ou mais) conjunto infinito maior que o dos inteiros, mas menor que o dos reais. Acreditava que não existe, mas não o conseguiu provar. A sua conjectura ficou conhecida como a hipótese do continuum (que passou mais tarde a integrar a lista de problemas escolhidos por Hilbert, constituindo um dos problemas fundamentais em Matemática). Em 1938, Kurt Gödel demonstrou que esta hipótese não poderia ser provada como falsa; e para surpresa de todos, em 1963, Paul Cohen provou que também não se poderia demonstrar a veracidade da hipótese. Por outras palavras, provou-se que é impossível demonstrar que Cantor estava certo ou errado! Este é um resultado extremamente importante na Matemática moderna, pois mostra que existem questões que não podem ser respondidas! A Matemática demonstrou a sua própria limitação, o que consequentemente significa que a nossa lógica tem um poder finito. (Ver também os Teoremas de Gödel no artigo Paradoxos da Razão.)

Confuso? Junte-se ao clube. Tiveram que passar muitos anos até que a Matemática de Cantor fosse completamente compreendida e aceite na comunidade matemática.

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Georg Cantor, matemático alemão, nascido na Rússia (1845-1918). Segundo o próprio, ele sabia que os números transfinitos eram reais porque “Deus disse-me”. Segundo o brilhante matemático David Hilbert, as descobertas de Cantor são “o melhor produto do génio matemático e uma das conquistas supremas de pura actividade intelectual humana”.

Passemos agora a números relativamente mais fáceis de compreender. Dentro dos naturais, podemos definir os famosos números primos: são números que só são divisíveis por 1 e por si próprios. Em contraste, todos os outros números são chamados de números compostos, podendo ser factorizados em números primos. Por outras palavras, um número composto é dado pelo produto de vários primos. Por exemplo, 18 é composto porque é igual ao produto 3x3x2 (em que 3 e 2 são primos, como é fácil verificar); já 47 é primo, porque é impossível encontrar um número que o divida (cujo resultado seja outro natural), que não seja 1, ou o próprio 47 (ou seja, a sua “única factorização” é 47 = 47×1).

Como é fácil de compreender, os números primos dão origem ao Teorema Fundamental da Aritmética que diz que qualquer número natural pode ser escrito como um produto de primos. Esta factorização em números primos é necessariamente única, ou seja, é impossível escrever um dado número como dois produtos diferentes de números primos. É fácil de verificar este facto usando novamente uma demonstração por redução ao absurdo (ver parte I): se assumirmos que duas factorizações em números primos são iguais, então ao igualarmos uma à outra verificaríamos que os números primos tinham que ser factorizáveis uns nos outros, o que é impossível dada a definição de número primo.

É por esta razão que os números primos são considerados as “unidades” base da construção dos números, porque através deles e da operação produto podemos obter qualquer número composto. Tendo em conta que o 2 é um primo que aparece na factorização de qualquer número par, poderíamos pensar que se calhar não precisamos de muitos números primos para factorizar qualquer número. Por exemplo, para factorizar 100 precisamos de quantos primos?

100 = 50×2 = 25x2x2= 5x5x2x2

São só dois primos! “Se calhar para construir qualquer número natural não precisamos de muitos primos, pelo que a lista de primos pode ser finita…” Parece ser uma hipótese plausível, no entanto está errada.

O grande matemático grego Euclides de Alexandria (que viveu nos séculos IV e III a.C.), o pai da Geometria, demonstrou na sua obra “Elementos” que existem infinitos primos. Este facto é conhecido por Teorema de Euclides e é um dos teoremas fundamentais em teoria de números.

Demonstração do Teorema de Euclides – Existem infinitos números primos!

 Consideremos todos os números primos até p_n :

p_1, p_2, p_3, ... p_n

Esta lista contém todos os números primos menores que p_n , mais o próprio p_n .

(Por exemplo, se p_n =7, então a lista iria conter os primos: 2, 3, 5, e 7.)

Vamos demonstrar que podemos encontrar sempre um novo primo para adicionar à lista.

Consideremos o número N que é dado pela expressão:

N=p_1 \times p_2 \times p_3 \times ... \times p_n +1

Este número N ou é primo ou é composto. Se for primo então alcançámos o nosso objectivo de adicionar um novo primo à lista. Se não for primo, então isso significa que existe um outro primo q que o divide. Porém, q não pertence à lista de primos de cima, porque se tentarem dividir o N por qualquer número da lista obtém necessariamente resto 1. Por outras palavras, N foi construído de tal modo que não pode ser dividido por nenhum dos primos da lista, o que significa que ou o próprio N é primo, ou existe um novo primo que deve ser adicionado à lista (o q). (O facto de se ter usado todos os números primos menores que p_n garante que o novo primo encontrado seja necessariamente maior que todos os primos presentes na lista, ainda que não seja necessariamente o número primo “seguinte”.)

Se com uma qualquer lista de primos podemos sempre encontrar mais um primo que não está na lista, isto implica que poderemos ir definindo listas de primos cada vez maiores, que a lista nunca estará completa! Há, portanto, infinitos números primos!

(No exemplo de cima, N=2x3x5x7+1=30×7+1=211, que é primo. Podem tentar encontrar a primeira lista de primos que dá um N composto, o que significa que depois têm que encontrar o novo primo q que não está na lista.)

Sobre os números primos, devo ainda acrescentar a Conjectura de Goldbach que nos diz que qualquer número par maior que 2 pode ser definido como a soma de dois primos. Trata-se de uma conjectura porque é um resultado ainda não demonstrado. Com a ajuda de computadores já se observou que a conjectura se mantém válida para uma enorme lista de números pares, contudo um computador nunca poderá demonstrar que a conjectura é válida para todos os números pares, visto estes serem infinitos. No entanto, bastaria encontrar um contra-exemplo para que a conjectura fosse considerada falsa – algo que estaria ao alcance de um computador, caso este encontrasse esse contra-exemplo.

Existem muitos outros teoremas interessantes sobre os números primos, mas não quero abusar da vossa paciência. Acrescento apenas que os números primos são fundamentais na criptografia usada hoje em dia, essencial nos sistemas de segurança informática. Um dos algoritmos mais conhecidos, o RSA (das iniciais dos seus criadores Ronald Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman), baseia-se na dificuldade computacional que é em encontrar os divisores de um dado número que foi obtido da multiplicação de dois números primos (extremamente grandes).

Para concluir a minha exposição dos primos, acrescento ainda algumas definições:

  • Dois números compostos podem ser considerados “primos entre si” caso o máximo divisor comum entre eles seja 1 (ver o Algoritmo de Euclides). No caso da demonstração de cima, o “truque” está em definir o número N que é primo em relação aos primos da lista (ainda que N possa não ser primo, como se viu).
  • Dois números primos gémeos são dois números primos cuja subtracção do maior pelo menor é igual a 2. Alguns exemplos: 3 e 5; 5 e 7; 41 e 43; etc.. Euclides conjecturou que haveria infinitos pares destes, no entanto ainda ninguém conseguiu demonstrar se tal é de facto verdadeiro.
  • De forma semelhante aos gémeos, pode-se definir os números primos primos (cousin primes) cuja diferença é 4. Por exemplo: 3 e 7; 7 e 11; 37 e 41; etc.. E com outras diferenças podem-se definir outros tipos de pares de primos, como os números primos sexy cuja diferença é 6.

Na próxima parte irei resumir mais alguns “tipos” de números, e de seguida começarei a expor-vos alguns dos números “especiais” em Matemática, mostrando-vos o porquê de o serem.

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Tradução: Que engraçado. Ele tem um amigo imaginário!

Marinho Lopes

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