Fórmulas – de onde vêm elas?

Physics

Embora o título seja muito geral, neste artigo vou focar-me na derivação de várias expressões matemáticas que aparecem na física elementar que é ensinada no secundário e no início do percurso universitário de quem estuda ciências ou engenharias. Consequentemente, a título excepcional, este artigo será um pouco técnico, sendo dirigido a quem tenha pelo menos o 12º ano de matemática. Quem não o tiver poderá tentar na mesma compreender e se não conseguir poderá pedir esclarecimentos adicionais nos comentários.

Vou abordar quatro questões muito simples que talvez alguns de vós tenham tido sobre expressões matemáticas que usamos em física. Se quiserem, podem propor outras questões a ser discutidas. Naturalmente, se souberem a resposta podem passar à frente.

Num movimento circular uniforme, de onde vem a expressão de que a aceleração centrípeta é igual à velocidade ao quadrado a dividir pelo raio do círculo?imgD

O movimento circular uniforme é um movimento que descreve um círculo de raio ‘r’ a velocidade ‘v’ constante, isto é, a magnitude da velocidade permanece constante. A velocidade como vector varia, porque a direcção da velocidade varia a cada momento, como se pode depreender da imagem acima. Note-se também que a força ‘F’ é sempre perpendicular à velocidade. Recordo que a força é dada pelo produto da massa com a aceleração ‘a’. Como a massa é um escalar, a aceleração tem necessariamente a mesma direcção que a força, e como tal é perpendicular à velocidade. (O conceito de força já foi discutido no artigo sobre as Forças da Natureza, e a noção de vector no artigo sobre o Efeito de Maré.)

Como é que chegamos à fórmula da aceleração?

a=\frac{v^2}{r}

Esta fórmula é válida para as magnitudes da aceleração e velocidade. Para a obter basta partirmos da formulação vectorial.

Se definirmos um referencial xy no centro do círculo do movimento, temos:

\vec{v}=v_{x}\vec{x}+v_y\vec{y}

Em que a seta por cima da variável indica que se trata de um vector, e como tal podemos projectar a velocidade no eixo dos xx e no eixo dos yy. Para um dado ângulo θ (usando a convenção usual de medir os ângulos a partir do primeiro quadrante na direcção contrária aos ponteiros do relógio),

\vec{v}=-v\sin\theta\vec{x}+v\cos\theta\vec{y}

Muitas vezes os estudantes têm dificuldades em identificar se devem colocar o coseno ou o seno em cada uma das projecções. Assumindo que se recordem que o coseno é 1 para um ângulo nulo, e que o seno é zero, então bastará usar essa condição para determinar quais as funções trigonométricas correctas a colocar em cada uma das projecções, pois, como é evidente, neste caso a projecção no eixo dos xx é zero quando o ângulo é zero. (Para colocar os sinais correctos, bastará avaliar também o caso em que o ângulo é π/2.)

Sabemos que a velocidade varia no tempo, em particular, o que varia nesta expressão é o ângulo. A velocidade angular ω é constante e por isso o seu integral dá-nos a expressão

\theta=\omega t

Além disso, podemos escrever a velocidade (linear) em função da velocidade angular. Podemos usar por exemplo uma regra de três simples: se a velocidade angular está para o ângulo de 2π, enquanto que a velocidade linear está para o perímetro do círculo 2πr, logo

v=\omega r

Substituindo na expressão da velocidade:

\vec{v}=-\omega r\sin(\omega t)\vec{x}+\omega r\cos(\omega t)\vec{y}

Para obter a aceleração basta fazer a derivada da velocidade em ordem ao tempo,

\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=-\omega^2 r[\cos(\omega t)\vec{x}+\sin(\omega t)\vec{y}],

cuja magnitude nos dá a expressão que procurávamos

a=\omega^2 r = \frac{v^2}{r}

Notem que a expressão vectorial da aceleração também nos mostra o porquê de ela ser perpendicular à velocidade: há um desfasamento de π/2 entre estas componentes e as da velocidade.

(As derivadas das expressões do seno e do coseno também podem levantar dúvidas por vezes. É sempre claro que a derivada de uma dá a outra, mas é positivo ou negativo? Caso se sintam baralhados, basta recordarem-se de como se comportam as funções para ângulos entre zero e π/2: o coseno começa em 1 e decresce até zero, enquanto que o seno começa em zero e cresce até 1 (mas ambas as funções são positivas neste intervalo). Como a derivada num ponto da função corresponde ao seu declive, então no caso do coseno o declive é negativo porque a função decresce, logo a sua derivada tem que corresponder a “menos seno”, visto que o seno é positivo neste intervalo. Por outro lado, a derivada do seno corresponde a declives positivos e portanto teremos “mais coseno”, visto que o coseno também é positivo neste intervalo.)

Como obter a expressão F=mg a partir da Lei da gravitação universal?

trans_gravity_eq1

A primeira equação trata-se da 2ª Lei de Newton colocando a aceleração ‘a’ igual à aceleração gravítica ‘g’ (à superfície da Terra), enquanto que a Lei da gravitação universal corresponde à expressão presente na figura (esta fórmula é explicada no artigo sobre as Forças da Natureza). Não é estranho que uma fórmula dependa da distância e a outra não? Não, porque a que aparentemente não depende tem a condição “à superfície da Terra”, que é de resto tudo quanto precisamos de aplicar para demonstrar a obtenção de uma fórmula a partir da outra.

As constantes em causa:

G=6.67\times 10^{-11} m^3kg^{-1}s^{-2}
M=5.97\times 10^{24} kg
r=6.37\times 10^6 m

isto é, a constante da gravitação universal G, a massa do planeta Terra M, e o raio da Terra r (que é a distância a que um dado objecto à superfície do planeta está do centro de massa deste). A massa ‘m’ corresponde à massa do objecto (que aparece também na expressão F=mg).

Assim, ao igualarmos as duas expressões obtemos

g=\frac{GM}{r^2}\approx 9.8 ms^{-2}

E se estivéssemos a 30 km acima da superfície terrestre? Quão mais baixa seria a aceleração gravítica? Nesse caso teríamos

r=(6.37+0.03)\times 10^6m

e portanto

g\approx 9.7 ms^{-2}

Como vêem, a aceleração gravítica é praticamente constante para distâncias suficientemente próximas da superfície terrestre (isto é, para altitudes desprezáveis em comparação com o raio da Terra que é cerca de 6300 km).

 

Como conciliar as expressões da energia potencial gravítica? 

dibu4

Esta questão é muito semelhante à anterior, ainda assim poderá ser útil revê-la. Refiro-me naturalmente às seguintes expressões:

E=mgh

E=-\frac{GmM}{r}

onde ‘h’ é uma altura relativa (em relação ao solo, por exemplo), como na figura. Como é que é possível que as duas fórmulas sejam compatíveis, se numa temos a energia a crescer de forma proporcional à distância, enquanto que na outra temos a energia inversamente proporcional à distância?! A questão está novamente no facto de ‘h’ ser muito pequeno em comparação com ‘r’. Para obtermos a primeira expressão a partir da segunda, temos que constatar que a primeira expressão nos dá a energia potencial entre o ponto à altura ‘h’ e o ponto à altura zero (podemos definir o “zero” onde quisermos, desde que seja relativamente próximo da superfície da Terra). Por isso:

E = E(h+r)-E(r) =-\frac{GmM}{r+h} +\frac{GmM}{r}=\frac{GmM(-r+r+h)}{(r+h)r}

Como r é muito maior que h,

r+h\approx r

logo

E=\frac{GmMh}{r^2}

Tendo em conta que, como vimos anteriormente,

g=\frac{GM}{r^2}

ficamos com

E=mgh

(De forma mais formal, podem usar uma expansão de Taylor na parte da aproximação.)

 

Como obter a conservação da energia total a partir da expressão da força?

Newtons_cradle_animation_new

A título de curiosidade, acrescento aqui a forma de obter a energia total a partir da expressão da força. Comecemos por notar que a aceleração é a segunda derivada da posição:

F=ma=m\frac{d^2x}{dt^2}

Não havendo atrito ou “amortecimento” no movimento, a força é independente do tempo e da velocidade do objecto. Sendo assim, a energia é conservada, e podemos escrever a força em função de uma energia potencial:

F=-\frac{dE_p}{dx}

Ficamos então com

\frac{dE_p}{dx}+m\frac{d^2x}{dt^2}=0

Até aqui nada de novo, suponho. Multipliquemos agora pela velocidade, isto é, a derivada de x (a igualdade permanece válida, pois estamos a multiplicar dos “dois lados”),

\frac{dE_p}{dx}\frac{dx}{dt}+m\frac{d^2x}{dt^2}\frac{dx}{dt}=0

e como podem verificar usando a regra da cadeia para a energia potencial e derivada de uma primeira derivada ao quadrado para o segundo termo (energia cinética), obtemos

\frac{d}{dt}[E_p+\frac{1}{2}m(\frac{d x}{dt})^2]=0

(Poderá ser mais fácil demonstrarem ao “contrário”, partindo do resultado para chegar à expressão anterior.)

Se a derivada temporal desta quantidade é nula, tal significa que esta quantidade é constante no tempo, ou seja, conserva-se:

E_{total}=E_p+\frac{1}{2}mv^2

 

Dou por concluída a exposição. Como avisei no início, tratou-se de um artigo bastante técnico. Podem considerar que foi como que um teste para verificar qual o interesse que este tipo de artigo pode ou não suscitar.

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Não sou preguiçoso, estou antes a transbordar de energia potencial. 

Marinho Lopes

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