A Matemática das Eleições

votacao

Por estes dias, muitos de nós nos questionamos como é que é possível que Donald Trump tenha ganho as eleições nos Estados Unidos, ou como é que o referendo do Brexit tenha tido o resultado que teve. Embora estas questões possam ser melhor compreendidas com base em aspectos sociológicos, bem como no facto do sistema “democrático” permitir que uma população mal informada tome decisões; é importante reconhecer que a própria contagem de votos não é tão transparente e exacta como poderia parecer. Não, não me refiro a uma eventual adulteração da contagem, mas sim ao próprio sistema adoptado. Se tivermos apenas duas opções de voto é óbvio que aquela que receba maior número de votos seja aquela que agrada à maioria da população. Porém, se tivermos três opções de voto, os resultados tornam-se de imediato contestáveis, pois será possível eleger um candidato com menos de 50% dos votos, o que significa que a maioria da população se opõe ao vencedor!

À primeira vista isto deveria ser um problema simples: existem várias opções; a população vota nas opções; contamos os votos e determinamos qual é a opção que melhor caracteriza a vontade da população. Contar os votos é fácil, interpretar o resultado pode ser bastante difícil!

Para compreenderem o quão difícil e contraditória pode ser esta questão, vou-me focar em três sistemas de voto que são usados em diversos sistemas políticos e/ou empresariais:

  1. Sistema de pluralidade dos votos: Este é o modelo mais simples, onde o candidato que recebe mais votos ganha. Como referi em cima, os resultados podem ser contestáveis quando temos mais que dois candidatos. Como é que poderemos defender que um dado candidato é a escolha da população quando dois terços ou mais da população se opõe ao candidato?
  2. Voto único transferível: De modo a responder ao problema do sistema de pluralidade, que negligencia a ordem de preferências dos eleitores, neste caso os eleitores ao invés de votarem num só candidato, têm antes que colocar no boletim de voto a ordem com que preferem os candidatos. Uma vez contadas as diversas ordens possíveis, o candidato com um menor número de primeiras preferências é eliminado, mas os votos deste não são descartados como no sistema de cima, passam antes para o segundo candidato preferido por este grupo de eleitores. Este processo é repetido até se encontrar um vencedor. (Mais abaixo irei dar exemplos, pelo que tornar-se-á mais claro como é que funciona.) O objectivo é evitar que um candidato odiado pela maioria possa ser eleito, bem como levar em conta as preferências gerais da população.
  3.  Voto por aprovação: Neste caso pretende-se encontrar o candidato que tem uma menor oposição. Ao eleitor é dada a hipótese de votar em todos os candidatos que aprova. Assim, espera-se que o vencedor seja aquele que irá deixar um menor número de pessoas insatisfeitas com a sua eleição.

Parece-lhe que qualquer um destes sistemas é plausível? Se não o fossem, não seriam usados. Mas será que conduzem aos mesmos resultados?

Consideremos uma população eleitora constituída por 15 milhões de pessoas. Nas eleições presidenciais, há três candidatos: o Tio Patinhas, o Homer Simpson, e o Son Goku.

Para simplificar, consideremos que não existe abstenção, votos nulos, e votos em branco, mas apenas as três seguintes intenções de voto:

  • 6 milhões querem que o Tio Patinhas vença. São indiferentes ao Homer, e odeiam o Goku.
  • 5 milhões adoram o Goku; gostam do Homer, e não apreciam o Tio Patinhas.
  • 4 milhões estão convencidos que o Homer é o melhor candidato a presidente, seguido do Goku, e do Tio Patinhas.

Qual dos três merece vencer a eleição?

Pelo sistema da pluralidade vence o Tio Patinhas com 6 milhões de votos. Note-se que 60% da população (9 milhões) colocou o Tio Patinhas como última opção!

Usando o voto único transferível, primeiro reconhecemos que Homer é aquele que tem menos apoiantes como primeira opção, pelo que é eliminado na primeira “ronda”. Os 4 milhões de votos do Homer passam para o segundo favorito deste grupo de eleitores, ou seja, o Goku recebe 4 milhões de votos, a somar aos 5 que já tinha. Assim, o Goku vence com 9 milhões de votos contra os 6 milhões do Tio Patinhas!

Para poder considerar o voto por aprovação vamos assumir que todos os eleitores votaram nas suas duas primeiras opções. Isto significa que o Tio Patinhas recebeu 6 milhões de votos, o Goku recebeu 5+4=9 milhões de votos, e o Homer é o vencedor com 15 milhões de votos!! (Note-se que neste caso o total de votos é igual a duas vezes o número de eleitores, visto que houve dois votos por cada eleitor.)

É bom sublinhar que os números que usei aqui não são absurdos, nem mesmo um exemplo muito rebuscado que seja difícil de obter na realidade. Pelo contrário, são números plausíveis, que quando interpretados de formas diferentes dão resultados diferentes. Qual é o resultado que melhor ilustra a vontade da população?

Destes três sistemas é possível que o mais atraente seja o do voto único transferível, visto ser o único que de algum modo tem em consideração a ordem de preferência dos eleitores. No entanto, é também o mais complexo, podendo conduzir a resultados contraditórios, como ilustra o exemplo que se segue.

Uma pequena cidade tem 21 mil eleitores, os quais têm que escolher entre 4 candidatos: A, B, C, e D. Neste exemplo vamos assumir que as preferências dos eleitores se dividem em quatro grupos:

  • 7 mil eleitores têm a seguinte ordem preferencial: A B C D
  • 6 mil eleitores preferem: B A C D
  • 5 mil eleitores preferem: C B A D
  • 3 mil eleitores preferem: D C B A

Aplicando o sistema de voto único transferível, na primeira ronda constatamos que o candidato D é aquele que menos pessoas escolheram como primeira opção (apenas 3 mil). Sendo assim, o candidato D é eliminado da corrida, e os seus 3 mil votos passam para a segunda opção deste grupo, ou seja, para o candidato C. Ficamos então com:

  • 7 mil – A B C
  • 6 mil – B A C
  • (5+3) mil = 8 mil – C B A

Assim, na segunda ronda, o candidato B é aquele que reúne menos votos de primeira opção, pelo que é eliminado. Os seus 6 mil votos passam para a segunda opção deste grupo, ou seja, A. Ficamos portanto com:

  • (7+6) mil = 13 mil – A C
  • 8 mil – C A

O vencedor é o candidato A.

Até aqui nada de anormal. Suponhamos agora que devido a umas sondagens que mostram que o candidato D é o mais fraco, o quarto grupo de 3 mil pessoas decide alterar as suas preferências de D C B A para A D C B. Isto significa que o candidato A ganhou mais apoiantes, e como tal seria de esperar que tal o favorecesse a vencer a eleição, certo? Errado!

Fazendo de novo a análise anterior para esta nova situação, eis o que acontece em cada uma das rondas:

  1. D é eliminado, pois não tem apoiantes. Não há transferência de votos, e ficamos com o seguinte “quadro”:
    • 7 mil – ABC
    • 6 mil – BAC
    • 5 mil – CBA
    • 3 mil – ACB
  2. C é eliminado, pois só tem 5 mil votos. Estes são transferidos para B:
    • 7 mil – AB
    • (6+5) mil = 11 mil – BA
    • 3 mil – AB
  3. B é o vencedor com 11 mil votos contra 10 mil votos de A!

Mais uma vez friso que os números em causa não constituem um caso especial. Este exemplo apenas evidencia as limitações deste sistema de contagem de votos. Repare-se que, por um lado, um candidato que é a segunda opção de grande parte da população pode ser eliminado por um candidato que é favorito de apenas uma minoria. Por outro lado, a transferência de votos pode ser considerada injusta, pois os votos de primeira opção não deviam valer o mesmo que os de segunda opção. De forma a resolver estes problemas podem-se introduzir diferentes pesos nas opções. Isto é, pode-se considerar, por exemplo, que a primeira opção recebe 4 pontos, a segunda recebe 3 pontos, a terceira 2 pontos, e a última 1 ponto. Esta solução minimiza os problemas de cima, mas não é claro de que forma é que se devem definir os “pontos” de cada opção. Será mais justo usar uma diferença maior ou menor? Esta opção pode condicionar o resultado final! Por outro lado, introduzimos um novo problema: neste novo sistema é possível que vença alguém que não é a primeira opção de ninguém!

Então qual é a solução? Em 1951, na sua tese de doutoramento, o matemático e economista americano Kenneth Arrow demonstrou que não existe solução! Este resultado é conhecido como o Teorema da Impossibilidade de Arrow, ou o Paradoxo de Arrow, o qual lhe valeu o Prémio Nobel da Economia em 1972. O seu teorema mostra que, quando há três ou mais opções, é impossível criar um sistema de votos que consiga ordenar as preferências da população de modo a reflectir sempre as preferências desta.

Kenneth_Arrow

Kenneth Arrow (1921-2017). Foi uma das grandes figuras académicas da Economia.
Faleceu no mês passado, a 21 de Fevereiro.

Em conclusão, a escolha do sistema de contagem de votos é uma decisão política que, tal como os candidatos eleitos, nunca será do agrado de todos. Ainda assim, fosse isto o pior na democracia…

 

“Many forms of Government have been tried, and will be tried in this world of sin and woe. No one pretends that democracy is perfect or all-wise. Indeed, it has been said that democracy is the worst form of Government except for all those other forms that have been tried from time to time.”

“Têm-se tentado muitas formas de governo, e muitas mais serão tentadas neste mundo de pecado e angústia. Ninguém finge que a democracia é perfeita ou douta. De facto, tem sido dito que a democracia é a pior forma de governo se exceptuarmos todas as outras formas de governo que têm sido tentadas de tempos a tempos.”

Winston Churchill

trump

“Esta eleição é uma fraude. A menos que eu ganhe.”
Mesmo tendo ganho, manteve a acusação, por não ter gostado dos números. Note-se que ele ganhou apesar de não ter tido a maioria dos votos. Trata-se, por isso, de um exemplo de como o sistema de contagem é crucial para determinar o vencedor.

 

P.S.: Grande parte deste artigo foi inspirado numa palestra de Keith Devlin.

Marinho Lopes

 

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2 thoughts on “A Matemática das Eleições

  1. Olá, Marinho.

    Alguns parágrafos abaixo da foto dos personagens (candidatos), eu acredito que tenha ocorrido algum “tropeço”, pois não entendi claramente o início da frase: “É bom sublinho que os números que usei aqui não são absurdos […]” .
    Aproveito para elogiá-lo pelo texto e pela divulgação científica.

    Abraços,

    • Olá Luc,

      Obrigado pela correcção. A palavra era “sublinhar” e não “sublinho”. Se houver mais algum lapso, esteja à vontade para o apontar. 🙂
      Obrigado pelo elogio.

      Cumprimentos,
      Marinho

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