A beleza abstracta – Parte I

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Qual a origem da beleza? Ou melhor, qual a origem do enlevo que sentimos quando percepcionamos algo que definimos como belo? A simetria, a coerência e a simplicidade são alguns dos elementos que parecem compor a harmonia daquilo que genericamente sentimos ser belo. Somos atraídos pela beleza sem que a razão pareça ter um argumento que justifique esta valorização abstracta inadvertida. Encontramos esse encanto não só no mundo material, como também no mundo das ideias. Admiramos noções simples que têm o dom de elucidar conceitos complexos. Atrai-nos a magia aparente de uma ideia que parece transcender os limites da razão que a criou.

Em 1988, a revista Mathematical Intelligencer criou uma votação para os seus leitores elegerem os teoremas mais belos da Matemática [1]. Alguns deles já os referi noutros artigos, como a demonstração do π ser um número transcendental, bem como a da raiz quadrada de 2 ser um número irracional. Neste artigo vou descrever o top 5.

basel_problem

O quinto lugar foi alcançado pela soma infinita dos inversos dos quadrados dos números naturais:

1 + \frac{1}{2^2}+ \frac{1}{3^2}+ \frac{1}{4^2}+ \frac{1}{5^2}+...

Como referi neste artigo, o grande matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) demonstrou que esta soma é igual a π2/6. A soma pode ser encarada como a área conjunta de todos os quadrados possíveis, mas diferentes, com lado fraccionária igual ou inferior a 1. Este número de quadrados é infinito, mas a área é finita e cabe num sexto de um quadrado de aresta π, constante esta que, como sabe, define a razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer círculo. A beleza deste resultado está por isso nesta relação fascinante entre π e uma soma infinita convergente.

Esta soma é conhecida como o Problema de Basileia e foi proposto em 1644 pelo matemático Pietro Mengoli. Noventa anos passaram sem que ninguém conseguisse encontrar a solução, incluindo matemáticos famosos como Jacob Bernoulli. Assim, Euler tornou-se de imediato famoso quando em 1735, com apenas 28 anos, conseguiu encontrar a solução.

 

1200px-Polyhedron_pair_6-8

A demonstração de que só existem 5 poliedros regulares, os sólidos platónicos, ficou em quarto lugar. Recordo que um poliedro é uma figura geométrica de três dimensões espaciais, cujas faces são polígonos (figuras bidimensionais) [2]. Um cubo é um poliedro constituído por 6 quadrados nas suas faces, sendo ele um dos 5 poliedros regulares.

A regularidade é definida com as seguintes condições: todas as faces são polígonos iguais e todos os vértices são equivalentes, na medida em que todos eles fazem fronteira com polígonos iguais entre si. Os polígonos em causa têm eles próprios que ser regulares e congruentes (um polígono é regular se todos os seus lados e ângulos forem iguais; e dois polígonos são congruentes se tiverem a mesma dimensão e forma [3]).

Ao contrário do caso tridimensional, existem infinitos polígonos regulares, uma vez que podemos dispor um número infinito de pontos equidistantes numa circunferência. Eis o exemplo do icoságono, um polígono com 20 lados:

 

icosagon

Deste ponto de vista, o círculo pode ser considerado um polígono regular com um número infinito de lados.

É por isso bastante curioso que em três dimensões existam apenas 5 poliedros regulares convexos [4]. Além do cubo, existe o tetraedro, o octaedro, o dodecaedro e icosaedro:

sol_platao

Em frente dos nomes dos poliedros encontram o símbolo de Schläfli, o qual indica o número de arestas de cada face e o número de faces que tocam em cada vértice.

Tal como nos polígonos regulares, onde os vértices fazem parte de uma circunferência que circunscreve o polígono, no caso dos poliedros regulares os vértices também definem uma esfera que circunscreve o sólido.

Não se sabe quem descobriu os 5 poliedros, mas os Gregos da Antiguidade Clássica já os conheciam. Dada a beleza especial destas formas geométricas de elevada simetria, Platão propôs que tudo era constituído por 5 elementos: terra, ar, água, fogo e espírito, sendo que cada um destes elementos seria constituído por pequeníssimas cópias de um dos poliedros regulares. A natureza não obedece à teoria de Platão, no entanto encontramos cubos, tetraedros e octaedros na estrutura de cristais.

A demonstração de que não existem mais que 5 poliedros regulares convexos foi apresentada nos “Elementos” de Euclides [5]. Uma demonstração intuitiva pode ser alcançada considerando apenas que em cada vértice tem que se encontrar pelo menos três faces e a soma dos ângulos das faces tem que ser inferior a 360º. Dado que as faces contribuem com ângulos iguais, verifica-se que só existem 5 casos possíveis.

 

primes_square

A medalha de bronze foi atribuída ao Teorema de Euclides: a demonstração de que existe um número infinito de números primos. Recordo que um número primo é um número natural apenas divisível por 1 e por si próprio. Qualquer número natural reduz-se por isso a um produto único de números primos.

A demonstração encanta pela sua simplicidade. Já a apresentei antes, pelo que refiro apenas que existem muitas outras formas de mostrar que existem infinitos números primos, ainda que a demonstração de Euclides continue a ser das mais simples e elegantes [6].

 

Na segunda parte irei apresentar os dois teoremas mais belos.

 

pic1

“Para mim pode ser o T.P.C. de Matemática.”

 

[1] Eis a lista dos 24 teoremas que foram a votos: https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF03024015
[2] Acrescento que a figura é fechada, os polígonos são planos (não têm curvatura), as arestas são segmentos de recta, e os vértices são acentuados.
[3] Dois polígonos são também considerados congruentes se um tiver o mesmo tamanho e forma que a imagem espelhada do outro. Por outras palavras, dois polígonos são congruentes se for possível transformar um no outro usando apenas translações, rotações e reflexões.
[4] A convexidade exige que os ângulos internos do sólido sejam todos inferiores a 180º, o ângulo raso. Sem esta restrição encontramos mais quatro poliedros regulares, os belos poliedros de Kepler-Poinsot: http://mathworld.wolfram.com/Kepler-PoinsotSolid.html
[5] Ao contrário do seu rigor habitual, Euclides não apresenta uma demonstração completa da unicidade dos sólidos platónicos, ainda que a ideia geral esteja correcta. Se quiser pode ler mais sobre a demonstração aqui:
http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-five-polyhedra
[6] Pode consultar outras demonstrações na wikipedia:
https://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_theorem

 

Marinho Lopes

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2 thoughts on “A beleza abstracta – Parte I

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