O plano complexo

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Já aqui falei de números imaginários e complexos. Neste artigo vou abordar a sua representação geométrica. Como representar uma quantidade imaginária no espaço?

Para quantidades reais é fácil, basta definir uma “recta real”:

Number-line.svg

Decidimos que uma dada distância representa uma unidade e com isso todos os números reais ficam definidos em relação a essa distância. Mas como fazer o mesmo para uma “distância imaginária”?

Recordo que a unidade imaginária é simbolizada por um ‘i’ e é igual à raiz quadrada de -1:

i = \sqrt{-1}

Isto é, qual o número que multiplicado por si próprio dá -1?

i\times i = -1

Não há nenhum número real que multiplicado por si próprio dê -1, o que implica que a unidade imaginária não possa aparecer na recta real.

A representação geométrica dos números imaginários pode parecer intuitiva para quem a conhece: é um eixo perpendicular aos números reais, o que perfaz um espaço bidimensional para os números complexos.

Para quem não se recorda, um número complexo (‘z’) é um número composto por um número real (‘a’) e um número imaginário (‘b’):

z = a+bi

Embora não creia que a representação pareça intuitiva, analisemos o porquê de parecer sê-lo:

  1. Se um número imaginário não pode estar na recta real, então tem que estar fora dela.
  2. Um número imaginário é igual a um número real a multiplicar pela unidade imaginária. Ou seja, qualquer quantidade real tem que aparecer também no eixo imaginário. Sendo assim, temos uma recta imaginária em tudo igual à recta real, excepto que neste caso a unidade é ‘i’ em vez de 1.
  3. O zero é comum tanto a reais como imaginários.

Dadas estas condições e assumindo que o leitor conhece o plano cartesiano, associar a recta real ao eixo horizontal e a recta imaginária ao eixo vertical torna-se mais ou menos intuitivo: 

1024px-A_plus_bi.svg

Um número complexo é então um vector bidimensional com duas coordenadas: uma no eixo Real (‘a’ na figura) e outra no eixo Imaginário (‘b’ na figura).

 

Esta representação, porém, pode parecer uma mera convenção. Será que definir os números complexos num eixo perpendicular ao eixo real faz mesmo sentido? Como é que os matemáticos chegaram a esta representação geométrica?

Em finais do século XVIII, começos do século XIX, dois matemáticos chegaram a esta representação de forma independente. Primeiro o Norueguês-Dinamarquês Caspar Wessel (1745-1818) e depois o francês Jean-Robert Argand notaram que a representação geométrica dos números imaginários podia ser obtida usando um teorema elementar da geometria.

O teorema em causa dá-nos a média geométrica de um triângulo rectângulo:

1024px-Right_angle_altitude.svg

A distância ‘h’ é denominada a média geométrica das distâncias ‘p’ e ‘q’ (a média “normal” que é igual a (p+q)/2, é denominada de média aritmética).

Como demonstrar este teorema? Proponho ao leitor que pare aqui e tente demonstrar.

A demonstração consiste em escrever o teorema de Pitágoras para os três triângulos rectângulos representados e resolver a aritmética:

h^2+p^2=r^2
h^2+q^2=s^2
r^2+s^2=(p+q)^2

Substituindo as duas primeiras expressões na terceira:

h^2+p^2+h^2+q^2=(p+q)^2=p^2+2pq+q^2

Ou seja,

2h^2=2pq

E, portanto,

h^2=pq

 

O que Wessel e Argand compreenderam é que podiam facilmente obter um número imaginário usando esta expressão, caso permitissem que ‘p’ ou ‘q’ fossem distâncias negativas na recta real. Por exemplo, se p=-1 e q=1, então:

pq = -1

E, portanto,

h=\pm\sqrt{pq} =\pm\sqrt{-1}=\pm i

Por outras palavras, basta colocar as distâncias ‘p’ e ‘q’ sobre a recta real para que a construção geométrica indique que os números imaginários devem surgir numa recta perpendicular ao zero:

img

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), o Principe da Matemática, expandiu a ideia de forma a construir o plano complexo.
Note-se que nesta representação bidimensional, a multiplicação de um número complexo por -1 é igual a uma rotação de 180º no espaço, porque

(a+bi)\times(-1) = -a-bi

Enquanto que a multiplicação por ‘i’ é igual a metade dessa rotação, isto é, uma rotação de 90º:

img2

(a+bi)i = ai+bi^2 = -b + ai

É por este motivo que é muitas vezes conveniente definir os números imaginários na sua forma polar, onde traduzimos as coordenadas (a,b) por um comprimento ‘r’ e um ângulo θ:

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Ou seja,

z = r\cos\theta+ir\sin\theta

onde

r = \sqrt{a^2+b^2}

\cos\theta = \frac{a}{r}

\sin\theta = \frac{b}{r}

E para lá disto, o que fez o aluno de doutoramento de Gauss, Bernhard Riemann (1826-1866)? Riemann estendeu o plano complexo de forma a incluir o infinito! Mas isso é outra história que fica para os mais interessados investigarem.

 

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“Então, professor, podemos dizer que os números imaginários são reais?”
“Deus, ajuda esta pobre criança!”
Ironia à parte de pedir ajuda a um ser imaginário, a questão pode ser pertinente dependendo do sentido que se dê ao “real”.

Marinho Lopes

One thought on “O plano complexo

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