Calculadoras – Parte II

No século XVII, a contabilidade de uma empresa era um processo muito demorado, que exigia um trabalho metódico e muito cuidado. Imagine-se o que seria a contabilidade de impostos de uma das maiores áreas metropolitanas em França, como Rouen. Se houvesse uma forma de automatizar as contas, o trabalho decerto que se tornaria muito mais fácil. Terá sido isto que Blaise Pascal terá pensado, ao ter avaliado o trabalho que o pai dele tinha como supervisor de impostos de Rouen. Com apenas 19 anos, Blaise Pascal projectou a primeira calculadora mecânica funcional.

Digo “funcional”, porque duas décadas antes de Pascal, em 1623 e 1624, Wilhelm Schickard (1592-1635), professor alemão de hebraico e astronomia, terá escrito cartas a Kepler a explicar as suas ideias de como construir um engenho mecânico que fizesse contas de aritmética. À partida as ideias não terão passado do papel, até porque a máquina não teria funcionado. Várias ideias tinham mérito, mas era como que um projecto incompleto. Talvez por isso, tanto quanto se sabe, Schickard terá abandonado as suas ideias.

Pascal é, portanto, considerado o pai da calculadora mecânica, uma máquina capaz de “fazer” Matemática! Tratou-se em si próprio de uma revolução conceptual! Tinha-se uma máquina capaz de fazer algo que até aí só nós, humanos, éramos capazes de fazer.

Como disse, com apenas 19 anos, em 1642, Pascal começou a desenvolver a sua calculadora que é hoje conhecida como a pascalina. Em 1649, Pascal recebeu um “privilégio real”, um género de patente, que lhe dava os direitos de fazer e comercializar a sua pascalina em França. Pascal trabalhou na sua invenção durante 10 anos, mas só terá vendido cerca de 20 engenhos até 1654, em parte como consequência da complexidade e custo de construir a pascalina. Nesse ano, Pascal deixou de vender a sua invenção por não ser um produto economicamente viável. Considera-se que a calculadora de Pascal foi prematura para o seu tempo, pois na altura ainda não havia a “arte” necessária no domínio da mecânica e engenharia para produzir a pascalina a um preço razoável. Só se terá alcançado o nível de engenharia adequado no século XIX.

Blaise Pascal (1623-1662). Matemático, Físico e inventor francês. É talvez principalmente conhecido pelo seu trabalho em mecânica de fluídos, sendo que o seu nome é hoje usado como unidade de pressão.

Como é que funciona a pascalina? A ideia base é muito simples. Com o rodar de um disco dentado podemos definir algarismos de 0 a 9, caso o disco tenha 10 dentes. Por outras palavras, a cada dente do disco podemos associar um algarismo. Eis uma pascalina para termos uma ideia do que estou a falar:

Na parte debaixo vemos seis discos dentados que se parecem mais com seis rodas, cada uma com dez aros. Em torno do disco estão os dez algarismos (fixos). Cada disco controla um dígito, o qual aparece no mostrador em cima. Ao fazer rodar um disco, um sistema de engrenagens interna faz rodar o mostrador. Podemos imaginar um disco dentado que faz rodar outro, que por sua vez faz rodar o mostrador. O mostrador pode ser um cilindro com os algarismos de 0 a 10 na sua superfície lateral.

O sistema descrito já nos permite inserir números na pascalina, mas não nos permite fazer qualquer operação. Para isso é necessário impor que uma rotação completa do disco das unidades faça o disco das dezenas rodar uma unidade. Por outras palavras, quando passamos do 9 para o 0 no disco mais à direita (que controla as unidades), estamos na verdade a somar 1 ao 9 e, por isso, queremos que o disco das dezenas, isto é, o segundo disco do lado direito, rode uma unidade (se estiver no 0, deverá passar para o 1). Para fazer isto, Pascal usou um engenho que acopla os discos adjacentes, de tal forma que quando um disco da direita passa de 9 para 0, o disco à sua esquerda é forçado a somar uma unidade. Ou seja, a transição do 9 para o 0 tem um “trinco” especial que faz mover o disco do lado esquerdo. Para perceberem melhor a ideia podem ver este vídeo:

Embora seja possível generalizar o mecanismo de forma a permitir tanto a soma como a subtração, Pascal decidiu implementar apenas a soma, para simplificar a engenharia. Isto significa que todos os discos só rodam num sentido.

O engenho descrito permite somar quaisquer N números de forma sequencial. Primeiro faz-se um reset à pascalina, colocando todos os algarismos no 9 e somando-se uma unidade no disco das unidades (o mais à direita) ficamos com 999.999+1 = 000.000, visto só termos 6 discos. Para então fazermos a soma de dois números, só temos que rodar os discos de forma a inserir os números desejados na pascalina. Notar que o mostrador de cima mostra sempre o resultado da soma. Não há memória sobre os números colocados, só sobre a sua soma. É irrelevante começar a colocação de um número da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita (ou em qualquer outra ordem). Na sua essência, a pascalina traduz o rodar de discos em somas. Para somar uma unidade roda-se o disco das unidades um dente. Oito unidades: oito dentes. 243: roda-se dois dentes no terceiro disco a contar da direita, quatro no segundo e três no disco mais à direita. A colocação de um novo número traduz-se logo na soma deste número com o anteriormente colocado na pascalina. Aliás, a definição de um número na pascalina pode ser encarada como uma soma de todas as unidades, dezenas, centenas, etc. que compõem o número. Colocar um segundo número na pascalina trata-se de somar as unidades, dezenas, centenas, etc. do segundo número ao primeiro (que já estava no acumulador da pascalina).  

Não obstante os discos só rodarem num sentido, a pascalina também permite fazer subtracções de forma indirecta. Esta calculadora mecânica faz uso do método dos complementos aritméticos para obter o resultado de subtracções.

O complemento aritmético de um algarismo corresponde a 9 menos esse algarismo. Por exemplo, o complemento de 5 é 9-5 = 4. Se estivermos a falar de um número ‘a’ com N dígitos, o complemento desse número é igual a

C^N(a) = 10^N-1-a

onde C^N(a) representa o complemento de ‘a’. Por exemplo, o complemento de 487 é igual a 999-487 = 512. Se substituirmos ‘a’ por ‘a-b’:

C^N(a-b) =10^N-1-(a-b)

C^N(a-b) =10^N-1-a+b

Usando a definição do complemento de ‘a’, obtemos:

C^N(a-b) = C^N(a)+b

Isto significa que transformámos uma subtracção numa adição! Se queremos saber ‘a-b’, podemos usar a pascalina para somar o complemento de ‘a’ ao ‘b’ e com isso sabemos que obtemos o complemento do resultado que queremos.

Para simplificar, Pascal implementou dois mostradores, um para a soma directa explicada em cima e outro que mostrava o respectivo complemento aritmético, de forma a ser usado para as subtracções. Assim, o tal cilindro com os números de 0 a 9 tinha duas filas de algarismos:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

A fila de baixo é o complemento da fila de cima. A pascalina tinha então uma barra movível que permitia ocultar uma das filas. Ocultava-se a fila de baixo quando se pretendia fazer somas directas, ou ocultava-se a fila de baixo quando se pretendia fazer subtracções.

Para calcular 75-26, primeiro tínhamos que inserir o complemento do 75, isto é, 24. Ou olhávamos para os discos e inseríamos o 24 (rodávamos o disco mais à direita quatro unidades e rodávamos o segundo disco da direita duas unidades), ou alternativamente rodávamos os discos de forma a vermos aparecer 75 no mostrador (visto que este estaria a apresentar o complemento do número inserido). Note-se que o complemento do complemento de um número dá o próprio número:

C^N(C^N(a))=a

Por exemplo, se a=75 temos 99-(99-75)=75.

Depois de inserirmos o complemento do 75, teríamos que inserir o 26. Este seria inserido da forma normal (sem complemento), olhando para os discos (pois no mostrador já tínhamos o 75). Assim, depois de inserido o 26, o mostrador dar-nos-ía o resultado da subtracção. (Na verdade, como o reset da Pascalina corresponde a 000.000 na soma directa, no caso do complemento temos 999.999 antes de inserirmos qualquer número. No final, ficamos sempre com noves nos dígitos não usados. Assim, no exemplo de cima obteríamos 999.949. Isto significa que o utilizador tinha que ignorar os noves à esquerda do maior dígito usado.)

É possível apreciarem a pascalina ao vivo no museu do conservatoire national des arts et métiers em Paris.

Na próxima parte irei falar sobre as melhorias propostas por Leibniz para obter também multiplicações!

“E se alguma vez duvidarem das vossas soluções, usem simplesmente esta fórmula.”
Como espero que seja claro, o uso de uma calculadora é uma aptidão que não substitui, mas que complementa a formação de qualquer estudante.

Marinho Lopes

6 thoughts on “Calculadoras – Parte II

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  4. Muito bom !!! Explicação perfeita .
    ( Adorei o vídeo , explicou de uma uma forma simples , didática e ( mais importante) DETALHADA ( coisa que é difícil de encontrar) , tudo em um só lugar ).

    • Olá Maria,
      Muito obrigado pelo seu comentário.
      Acrescento apenas que o vídeo não é da minha autoria.
      Cumprimentos,
      Marinho

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