Contas impossíveis

math_impossible

Neste artigo vou abordar algumas curiosidades matemáticas que envolvem cálculos onde a nossa intuição não parece ser suficiente para alcançarmos a solução. Por outras palavras, vou apresentar e justificar várias “contas” que muitas vezes são encaradas como sendo meras convenções (ou, quiçá, como caprichos dos matemáticos).

Continuar a ler

Anúncios

Outra vez 1?!

images

Já reparou que o algarismo 1 parece apresentar-se como primeiro dígito mais vezes que todos os outros algarismos? Isto é, quando se depara com um dado número qualquer, parece que o 1 tem uma maior probabilidade de aparecer na primeira “posição” do lado esquerdo do número. Por exemplo, o 1 é o primeiro dígito dos seguintes números:

  • População portuguesa actual: 10.302.281*
  • Produto interno bruto médio no mundo: $ 17.300**
  • Número de ouro1.61803… (dízima infinita não-periódica)

É claro que estes exemplos não provam nada: você de certo que consegue pensar em imensos contra-exemplos. De facto, a primeira vez em que reparei neste padrão aparente pensei que estaria apenas a iludir-me com a tendência tão humana de encontrar padrões inexistentes fruto de uma negligência dos contra-exemplos. Infelizmente, nessa altura cometi o erro de não tentar aprofundar o assunto. O padrão de facto existe!

Continuar a ler

Como equilibrar uma mesa com Matemática?

Já lhe aconteceu ir ao café, pedir a sua bebida, e constatar que a mesa junto à qual está sentado não está bem assente com as quatro pernas no chão? Ao apoiar um cotovelo na mesa, esta baloiça, colocando em risco a sua bebida! Se você for como eu, irá de certo decidir que tal contratempo é inaceitável! Como é que resolve o problema? Olha em redor e encontra um jornal esquecido na mesa ao lado… Retira-lhe os inúteis classificados, e faz com eles uma almofada para colocar debaixo de uma das pernas da mesa (como a foto de cima ilustra). Problema resolvido! Já pode deleitar-se com a sua bebida em paz. Mas… E se não encontrar nenhum jornal? Se não tiver nada para colocar debaixo de uma das pernas? Fácil: rode a mesa em torno do seu centro até esta ficar estável! A Matemática garante que existirá pelo menos um ponto de estabilidade!

Continuar a ler

A Lei de Bayes

the_thinker

A Lei de Bayes (ou Teorema de Bayes, ou Regra de Bayes) é um teorema fundamental em Probabilidade e Estatística. Segundo o matemático britânico Sir Harold Jeffreys (1891-1989), a Lei de Bayes “está para a Teoria de Probabilidades assim como o Teorema de Pitágoras está para a Geometria”!

Esta lei matemática permite calcular a probabilidade de um dado acontecimento ocorrer tendo em consideração informação que o condiciona. Por exemplo, sabendo que a prevalência da doença de Alzheimer aumenta com a idade, tal possibilita o uso do Teorema de Bayes para melhor estimar se um dado paciente tem ou não a doença consoante a sua idade. O teorema está na base da inferência bayesiana, que é uma ferramenta estatística crucial em análise de dados de variados géneros. É aplicado em muitas áreas, desde a Medicina, à Engenharia, passando por Economia, Desporto, Lei, entre outros.    Continuar a ler

Soma dos naturais = infinito ou -1/12?

infinity

Qual a soma de todos os números naturais? Recordo que um número natural é um número inteiro maior que zero, isto é:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, …

Como deverá ser claro, este conjunto tem um número infinito de elementos. Mesmo o maior número natural que possam imaginar não será o “último” da lista, pois esse mesmo número +1 dá origem a um número maior, que também não será o “último” pela mesma razão (ad infinitum).

Talvez o leitor já tenha visto um famoso vídeo do Numberphile que afirma que a soma de todos os naturais é igual -1/12:

Será que é mesmo?
(Este artigo será um pouco denso, pelo que sinta-se à vontade de usar os comentários para pedir esclarecimentos adicionais. Acrescento que poderá ser útil ler primeiro o artigo 0.9(9)=1, onde faço a demonstração da soma da progressão geométrica.)

Continuar a ler

Os Problemas do Milénio – Parte II

math_problems

Os Problemas do Milénio, ou os Problemas do Prémio Millennium, são sete problemas de Matemática cuja solução de cada um vale um milhão de dólares!

Na primeira parte falei-vos da Hipótese de Riemann, da Conjectura de Hodge, e da Conjectura de Poincaré (o único problema já resolvido). Passemos agora aos outros quatro problemas.

Continuar a ler

Os Problemas do Milénio – Parte I

millenium problems

Os Problemas do Milénio, ou os Problemas do Prémio Millennium, são sete problemas de Matemática. A solução de cada um vale um milhão de dólares! A lista de problemas foi definida em 2000 pelo Clay Mathematics Institute (CMI). O instituto foi fundado em 1998 pelo empresário americano Landon Thomas Clay, e trata-se de uma fundação privada sem fins lucrativos que se encontra em Peterborough (New Hampshire, Estados Unidos). O CMI tem o propósito de disseminar e aumentar o conhecimento matemático. Para isso, o instituto oferece vários prémios e providencia financiamento a matemáticos promissores. O prémio em causa serve ambos os propósitos: por um lado a quantia de um milhão de dólares suscita o interesse e a curiosidade do público em geral, por outro fomenta o progresso da Matemática. Adianto que um dos problemas já foi resolvido, mas já lá vamos.

Como o leitor pode imaginar, a maioria destes problemas são tão complexos que só para os compreender é necessário ter conhecimentos muito avançados de Matemática. Neste artigo irei apenas tentar dar uma ideia sobre os problemas, e qual a importância de uma possível resolução. Irei também incluir alguns detalhes técnicos que o leitor pode escolher ignorar, ou requisitar mais informações nos comentários. Faço ainda notar que não é claro que haja solução para todos estes problemas.

Continuar a ler