O extraordinário logaritmo!

Nós que sempre vivemos em contacto com calculadoras de bolso e/ou computadores temos dificuldade em reconhecer a revolução que estas tecnologias trouxeram consigo. Mais difícil ainda é compreender a importância que as tecnologias anteriores tiveram. O computador está para o século XX como o logaritmo está para o século XVII! Tal como o computador, o logaritmo trouxe facilidade e rapidez de cálculo, o que por sua vez teve consequências enormes em todas as ciências e engenharias. Neste artigo vamos conhecer melhor o logaritmo.

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Calculadoras – Parte I

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O primeiro ramo da Matemática que se aborda na escola é a aritmética, isto é, “saber os números” e “fazer contas”. É como que o ABC quantitativo de qualquer cidadão funcional na nossa sociedade. Os números, como já descrevi noutros artigos, são abstracções úteis para, em primeira instância, enumerarmos coisas. Tudo na vida vai mudando e, como tal, os números mudam. Uma alteração num número corresponde a uma operação, como seja somar, subtrair, multiplicar e dividir. As operações obedecem a princípios lógicos simples, o que faz com que fazer cálculos numéricos seja fácil. Contudo, o ser-se fácil de um ponto de vista teórico não significa que seja fácil na implementação prática. Por exemplo, multiplicar 98345982 por 2397523905 é algo fácil em termos lógicos, porque sabemos quais as regras a aplicar, contudo é uma tarefa algo árdua e demorada de se fazer “à mão”. É por isso útil usar mecanismos automáticos que nos ajudem a chegar à solução. Imagine-se uma empresa de contabilidade sem poder usar calculadoras ou computadores!… De facto, os instrumentos de cálculo automático que temos são fundamentais para o funcionamento de quase todos os sectores da sociedade. Como é que funcionam esses instrumentos?

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O plano complexo

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Já aqui falei de números imaginários e complexos. Neste artigo vou abordar a sua representação geométrica. Como representar uma quantidade imaginária no espaço?

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A beleza abstracta – Parte II

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Neste artigo apresento-vos os cinco mais belos teoremas da Matemática de acordo com a votação organizada pela Mathematical Intelligencer. Na primeira parte já vos falei da soma infinita dos inversos dos quadrados dos números naturais (5º lugar); dos sólidos platónicos (4º lugar); e da demonstração de que existem infinitos números primos (3º lugar).

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A beleza abstracta – Parte I

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Qual a origem da beleza? Ou melhor, qual a origem do enlevo que sentimos quando percepcionamos algo que definimos como belo? A simetria, a coerência e a simplicidade são alguns dos elementos que parecem compor a harmonia daquilo que genericamente sentimos ser belo. Somos atraídos pela beleza sem que a razão pareça ter um argumento que justifique esta valorização abstracta inadvertida. Encontramos esse encanto não só no mundo material, como também no mundo das ideias. Admiramos noções simples que têm o dom de elucidar conceitos complexos. Atrai-nos a magia aparente de uma ideia que parece transcender os limites da razão que a criou.

Em 1988, a revista Mathematical Intelligencer criou uma votação para os seus leitores elegerem os teoremas mais belos da Matemática [1]. Alguns deles já os referi noutros artigos, como a demonstração do π ser um número transcendental, bem como a da raiz quadrada de 2 ser um número irracional. Neste artigo vou descrever o top 5.

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Negligência Paradoxal

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Nem tudo o que parece é. Não obstante a existência de paradoxos, é por norma boa prática assumir que uma contradição merece escrutínio. Neste artigo vou abordar uma aparente contradição que por vezes emerge quando analisamos dados de forma categorizada e de forma conjunta. Este tipo de contradição é conhecida como Paradoxo de Simpson, em referência ao matemático britânico Edward Simpson (1922-2019) que descreveu o fenómeno em 1951.

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Contas impossíveis

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Neste artigo vou abordar algumas curiosidades matemáticas que envolvem cálculos onde a nossa intuição não parece ser suficiente para alcançarmos a solução. Por outras palavras, vou apresentar e justificar várias “contas” que muitas vezes são encaradas como sendo meras convenções (ou, quiçá, como caprichos dos matemáticos).

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Outra vez 1?!

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Já reparou que o algarismo 1 parece apresentar-se como primeiro dígito mais vezes que todos os outros algarismos? Isto é, quando se depara com um dado número qualquer, parece que o 1 tem uma maior probabilidade de aparecer na primeira “posição” do lado esquerdo do número. Por exemplo, o 1 é o primeiro dígito dos seguintes números:

  • População portuguesa actual: 10.302.281*
  • Produto interno bruto médio no mundo: $ 17.300**
  • Número de ouro1.61803… (dízima infinita não-periódica)

É claro que estes exemplos não provam nada: você de certo que consegue pensar em imensos contra-exemplos. De facto, a primeira vez em que reparei neste padrão aparente pensei que estaria apenas a iludir-me com a tendência tão humana de encontrar padrões inexistentes fruto de uma negligência dos contra-exemplos. Infelizmente, nessa altura cometi o erro de não tentar aprofundar o assunto. O padrão de facto existe!

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Como equilibrar uma mesa com Matemática?

Já lhe aconteceu ir ao café, pedir a sua bebida, e constatar que a mesa junto à qual está sentado não está bem assente com as quatro pernas no chão? Ao apoiar um cotovelo na mesa, esta baloiça, colocando em risco a sua bebida! Se você for como eu, irá de certo decidir que tal contratempo é inaceitável! Como é que resolve o problema? Olha em redor e encontra um jornal esquecido na mesa ao lado… Retira-lhe os inúteis classificados, e faz com eles uma almofada para colocar debaixo de uma das pernas da mesa (como a foto de cima ilustra). Problema resolvido! Já pode deleitar-se com a sua bebida em paz. Mas… E se não encontrar nenhum jornal? Se não tiver nada para colocar debaixo de uma das pernas? Fácil: rode a mesa em torno do seu centro até esta ficar estável! A Matemática garante que existirá pelo menos um ponto de estabilidade!

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A Lei de Bayes

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A Lei de Bayes (ou Teorema de Bayes, ou Regra de Bayes) é um teorema fundamental em Probabilidade e Estatística. Segundo o matemático britânico Sir Harold Jeffreys (1891-1989), a Lei de Bayes “está para a Teoria de Probabilidades assim como o Teorema de Pitágoras está para a Geometria”!

Esta lei matemática permite calcular a probabilidade de um dado acontecimento ocorrer tendo em consideração informação que o condiciona. Por exemplo, sabendo que a prevalência da doença de Alzheimer aumenta com a idade, tal possibilita o uso do Teorema de Bayes para melhor estimar se um dado paciente tem ou não a doença consoante a sua idade. O teorema está na base da inferência bayesiana, que é uma ferramenta estatística crucial em análise de dados de variados géneros. É aplicado em muitas áreas, desde a Medicina, à Engenharia, passando por Economia, Desporto, Lei, entre outros.    Continuar a ler