A beleza abstracta – Parte I

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Qual a origem da beleza? Ou melhor, qual a origem do enlevo que sentimos quando percepcionamos algo que definimos como belo? A simetria, a coerência e a simplicidade são alguns dos elementos que parecem compor a harmonia daquilo que genericamente sentimos ser belo. Somos atraídos pela beleza sem que a razão pareça ter um argumento que justifique esta valorização abstracta inadvertida. Encontramos esse encanto não só no mundo material, como também no mundo das ideias. Admiramos noções simples que têm o dom de elucidar conceitos complexos. Atrai-nos a magia aparente de uma ideia que parece transcender os limites da razão que a criou.

Em 1988, a revista Mathematical Intelligencer criou uma votação para os seus leitores elegerem os teoremas mais belos da Matemática [1]. Alguns deles já os referi noutros artigos, como a demonstração do π ser um número transcendental, bem como a da raiz quadrada de 2 ser um número irracional. Neste artigo vou descrever o top 5.

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Negligência Paradoxal

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Nem tudo o que parece é. Não obstante a existência de paradoxos, é por norma boa prática assumir que uma contradição merece escrutínio. Neste artigo vou abordar uma aparente contradição que por vezes emerge quando analisamos dados de forma categorizada e de forma conjunta. Este tipo de contradição é conhecida como Paradoxo de Simpson, em referência ao matemático britânico Edward Simpson (1922-?) que descreveu o fenómeno em 1951.

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Contas impossíveis

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Neste artigo vou abordar algumas curiosidades matemáticas que envolvem cálculos onde a nossa intuição não parece ser suficiente para alcançarmos a solução. Por outras palavras, vou apresentar e justificar várias “contas” que muitas vezes são encaradas como sendo meras convenções (ou, quiçá, como caprichos dos matemáticos).

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Outra vez 1?!

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Já reparou que o algarismo 1 parece apresentar-se como primeiro dígito mais vezes que todos os outros algarismos? Isto é, quando se depara com um dado número qualquer, parece que o 1 tem uma maior probabilidade de aparecer na primeira “posição” do lado esquerdo do número. Por exemplo, o 1 é o primeiro dígito dos seguintes números:

  • População portuguesa actual: 10.302.281*
  • Produto interno bruto médio no mundo: $ 17.300**
  • Número de ouro1.61803… (dízima infinita não-periódica)

É claro que estes exemplos não provam nada: você de certo que consegue pensar em imensos contra-exemplos. De facto, a primeira vez em que reparei neste padrão aparente pensei que estaria apenas a iludir-me com a tendência tão humana de encontrar padrões inexistentes fruto de uma negligência dos contra-exemplos. Infelizmente, nessa altura cometi o erro de não tentar aprofundar o assunto. O padrão de facto existe!

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Como equilibrar uma mesa com Matemática?

Já lhe aconteceu ir ao café, pedir a sua bebida, e constatar que a mesa junto à qual está sentado não está bem assente com as quatro pernas no chão? Ao apoiar um cotovelo na mesa, esta baloiça, colocando em risco a sua bebida! Se você for como eu, irá de certo decidir que tal contratempo é inaceitável! Como é que resolve o problema? Olha em redor e encontra um jornal esquecido na mesa ao lado… Retira-lhe os inúteis classificados, e faz com eles uma almofada para colocar debaixo de uma das pernas da mesa (como a foto de cima ilustra). Problema resolvido! Já pode deleitar-se com a sua bebida em paz. Mas… E se não encontrar nenhum jornal? Se não tiver nada para colocar debaixo de uma das pernas? Fácil: rode a mesa em torno do seu centro até esta ficar estável! A Matemática garante que existirá pelo menos um ponto de estabilidade!

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A Lei de Bayes

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A Lei de Bayes (ou Teorema de Bayes, ou Regra de Bayes) é um teorema fundamental em Probabilidade e Estatística. Segundo o matemático britânico Sir Harold Jeffreys (1891-1989), a Lei de Bayes “está para a Teoria de Probabilidades assim como o Teorema de Pitágoras está para a Geometria”!

Esta lei matemática permite calcular a probabilidade de um dado acontecimento ocorrer tendo em consideração informação que o condiciona. Por exemplo, sabendo que a prevalência da doença de Alzheimer aumenta com a idade, tal possibilita o uso do Teorema de Bayes para melhor estimar se um dado paciente tem ou não a doença consoante a sua idade. O teorema está na base da inferência bayesiana, que é uma ferramenta estatística crucial em análise de dados de variados géneros. É aplicado em muitas áreas, desde a Medicina, à Engenharia, passando por Economia, Desporto, Lei, entre outros.    Continuar a ler

Soma dos naturais = infinito ou -1/12?

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Qual a soma de todos os números naturais? Recordo que um número natural é um número inteiro maior que zero, isto é:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, …

Como deverá ser claro, este conjunto tem um número infinito de elementos. Mesmo o maior número natural que possam imaginar não será o “último” da lista, pois esse mesmo número +1 dá origem a um número maior, que também não será o “último” pela mesma razão (ad infinitum).

Talvez o leitor já tenha visto um famoso vídeo do Numberphile que afirma que a soma de todos os naturais é igual -1/12:

Será que é mesmo?
(Este artigo será um pouco denso, pelo que sinta-se à vontade de usar os comentários para pedir esclarecimentos adicionais. Acrescento que poderá ser útil ler primeiro o artigo 0.9(9)=1, onde faço a demonstração da soma da progressão geométrica.)

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