Soma dos naturais = infinito ou -1/12?

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Qual a soma de todos os números naturais? Recordo que um número natural é um número inteiro maior que zero, isto é:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, …

Como deverá ser claro, este conjunto tem um número infinito de elementos. Mesmo o maior número natural que possam imaginar não será o “último” da lista, pois esse mesmo número +1 dá origem a um número maior, que também não será o “último” pela mesma razão (ad infinitum).

Talvez o leitor já tenha visto um famoso vídeo do Numberphile que afirma que a soma de todos os naturais é igual -1/12:

Será que é mesmo?
(Este artigo será um pouco denso, pelo que sinta-se à vontade de usar os comentários para pedir esclarecimentos adicionais. Acrescento que poderá ser útil ler primeiro o artigo 0.9(9)=1, onde faço a demonstração da soma da progressão geométrica.)

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Os Problemas do Milénio – Parte II

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Os Problemas do Milénio, ou os Problemas do Prémio Millennium, são sete problemas de Matemática cuja solução de cada um vale um milhão de dólares!

Na primeira parte falei-vos da Hipótese de Riemann, da Conjectura de Hodge, e da Conjectura de Poincaré (o único problema já resolvido). Passemos agora aos outros quatro problemas.

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Regressão de Leis no Universo

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Uma das assunções fundamentais em Ciência é que as leis que governam o funcionamento do universo são imutáveis. Poderá, por isso, deduzir que a “regressão” do título não tem o significado de retrocesso, mas antes um outro significado mais técnico. Em Matemática, “regressão” é um método que permite inferir a relação entre variáveis. Trata-se de uma técnica estatística crucial em Ciência para avaliar relações entre medidas experimentais. Este artigo terá alguns detalhes um pouco técnicos, por isso exorto o leitor a não se coibir de usar os comentários para pedir mais esclarecimentos caso a presente explicação não lhe pareça suficiente.

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O Fascínio dos Números – Parte II

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Na primeira parte discuti um pouco da filosofia sobre a existência dos números, e apresentei-vos os números naturais, inteiros, racionais, irracionais, transcendentais e reais.

Como vos disse, com os números reais é possível representar qualquer quantidade, pelo que poderiam questionar-se sobre o porquê de a “história” não ficar por aqui. Já vão perceber porquê…

Para lá dos números reais, surgem-nos os números imaginários. Um número imaginário é dado pelo produto de um número real com a raiz quadrada de -1:

\text{imagin\'ario} = \text{real} \times \sqrt{-1}

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A Estatística das Sondagens

Quando era pequeno ficava surpreendido por nas sondagens que mostravam na televisão dizerem que tinham, por exemplo, 98% de certezas – “Como é que eles sabem que têm essa certeza?” questionava-me eu,  “Para saberem isso teriam que comparar a amostragem usada com a população total”, pensava eu.

Antes de responder a essa questão, vou dar um pequeno “passeio” sobre alguns conceitos importantes da Matemática envolvida.

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