Outra vez 1?!

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Já reparou que o algarismo 1 parece apresentar-se como primeiro dígito mais vezes que todos os outros algarismos? Isto é, quando se depara com um dado número qualquer, parece que o 1 tem uma maior probabilidade de aparecer na primeira “posição” do lado esquerdo do número. Por exemplo, o 1 é o primeiro dígito dos seguintes números:

  • População portuguesa actual: 10.302.281*
  • Produto interno bruto médio no mundo: $ 17.300**
  • Número de ouro1.61803… (dízima infinita não-periódica)

É claro que estes exemplos não provam nada: você de certo que consegue pensar em imensos contra-exemplos. De facto, a primeira vez em que reparei neste padrão aparente pensei que estaria apenas a iludir-me com a tendência tão humana de encontrar padrões inexistentes fruto de uma negligência dos contra-exemplos. Infelizmente, nessa altura cometi o erro de não tentar aprofundar o assunto. O padrão de facto existe!

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Quando a lógica parece enganar – Parte II

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Na primeira parte discuti e resolvi o Problema de Monty Hall e dois outros problemas semelhantes, o Problema dos Três Prisioneiros e o Paradoxo da Caixa de Bertrand. No final deixei-vos dois problemas, os quais passo a analisar.

 

O Problema dos Pontos, também conhecido como o problema do jogo incompleto, foi resolvido por Fermat, ainda que tenha sido estabelecido muito antes por Luca Pacioli (o matemático amigo de Leonardo da Vinci, que referi no artigo sobre o número de ouro, 1445-1517). Blaise Pascal (1623-1662) também o tentou resolver, falhou e por isso pediu a ajuda a Pierre de Fermat (1601-1665). Apesar de ser um problema que tenha ludibriado alguns matemáticos, é bastante simples, como vão ver.

Imaginem que duas pessoas estão a jogar um jogo que consiste em lançar um dado, um aposta que sai número par, o outro aposta que sai número ímpar (50% de hipóteses para cada um). O jogo é composto por várias “rodadas” (rounds), quem ganhar três primeiro, fica com o prémio. Contudo, os jogadores têm que interromper o jogo quando um deles ainda só ganhou 2 rounds e o outro ganhou 1. Qual a forma justa de dividir o prémio?

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Quando a lógica parece enganar – Parte I

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Neste artigo vou expor e resolver alguns problemas matemáticos que são famosos por conduzirem facilmente a uma resposta errada. Não são problemas complexos e não exigem nenhum curso superior para os compreender. Pensamento lógico e coerente é suficiente. Não existe qualquer truque, apesar de serem problemas que normalmente induzem as pessoas a precipitar-se sobre a resposta errada.

Começo pelo Problema de Monty Hall (se o leitor já o conhecer, poderá passar ao seguinte; este problema apareceu, por exemplo, no filme “21”). Monty Hall era o apresentador de “Let’s make a deal” (vamos fazer um acordo), um jogo televisivo onde são dadas diferentes opções a um jogador. O problema pode ser apresentado de várias formas, por exemplo: imaginem que estão nesse programa televisivo e vos mostram 3 malas, dizem-vos que numa delas está um prémio, enquanto que as outras estão vazias, e pedem-vos para escolherem uma. Neste momento não há dúvidas: a probabilidade de acertarem na mala correcta é de 1 em 3 (ver o artigo da Probabilidade de ganhar o €M para mais detalhes sobre como calcular probabilidades). Depois de escolherem, o apresentador abre uma das outras duas malas, informando-vos de que não era aquela que continha o prémio. De seguida pergunta-vos se vocês querem alterar a vossa escolha inicial. Devem mudar ou não?

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A Estatística das Sondagens

Quando era pequeno ficava surpreendido por nas sondagens que mostravam na televisão dizerem que tinham, por exemplo, 98% de certezas – “Como é que eles sabem que têm essa certeza?” questionava-me eu,  “Para saberem isso teriam que comparar a amostragem usada com a população total”, pensava eu.

Antes de responder a essa questão, vou dar um pequeno “passeio” sobre alguns conceitos importantes da Matemática envolvida.

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Probabilidade de ganhar o euromilhões

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Neste artigo vou começar por introduzir o conceito de “probabilidade”, referir algumas das propriedades básicas e por fim exemplificar com o cálculo da probabilidade de ganhar o euromilhões. Este artigo servirá principalmente como base para artigos futuros sobre questões mais complexas.

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Movimento Browniano


Em 1827, Robert Brown colocou grãos de pólen em água (a flutuar) e observou ao microscópio. Para sua surpresa verificou que os grãos de pólen realizavam um movimento irregular e pareciam nunca parar quietos. De onde viria aquele movimento? Brown supôs que as partículas de pólen estavam “vivas”! Este curioso movimento ficou conhecido como “movimento browniano”.

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Ressonância Estocástica – Parte I

Talvez para alguns o título seja uma completa incógnita. Sendo assim, irei começar por explanar cada um dos conceitos separadamente, para que mais tarde, quando explicar o fenómeno de Ressonância Estocástica, compreendam o porquê de assim ser denominado.

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