A Lei de Bayes

A Lei de Bayes (ou Teorema de Bayes, ou Regra de Bayes) é um teorema fundamental em Probabilidade e Estatística. Segundo o matemático britânico Sir Harold Jeffreys (1891-1989), a Lei de Bayes “está para a Teoria de Probabilidades assim como o Teorema de Pitágoras está para a Geometria”!

Esta lei matemática permite calcular a probabilidade de um dado acontecimento ocorrer tendo em consideração informação que o condiciona. Por exemplo, sabendo que a prevalência da doença de Alzheimer aumenta com a idade, tal possibilita o uso do Teorema de Bayes para melhor estimar se um dado paciente tem ou não a doença consoante a sua idade. O teorema está na base da inferência bayesiana, que é uma ferramenta estatística crucial em análise de dados de variados géneros. É aplicado em muitas áreas, desde a Medicina, à Engenharia, passando por Economia, Desporto, Lei, entre outros.   

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A atracção do nada: o Efeito Casimir

Os nossos sentidos permitem-nos assimilar parte da “realidade” que nos rodeia. A essência existencial da realidade é um tema recorrente da Filosofia que tem sido progressivamente alimentado pelo crescente conhecimento que temos adquirido na caracterização tecnologicamente ampliada da experiência sensorial. No século XX, a Física obrigou-nos a aceitar que o nosso senso comum não é aplicável a certas escalas que transcendem os nossos sentidos naturais: na escala do muito grande surge-nos a Relatividade Restrita e Geral de Albert Einstein que descreve distorções no próprio “tecido” do espaço-tempo; enquanto que na escala do muito pequeno encontramos a Mecânica Quântica que retrata a forma como as partículas deixam de ter posições bem definidas tanto no espaço como no tempo, o que por sua vez permite um conjunto de fenómenos bizarros, como seja a “spooky action at a distance” ¹, ou o gato de Schrödinger².

Neste artigo vou-vos falar de um desses fenómenos bizarros: o efeito Casimir. Foi previsto teoricamente em 1948 pelo físico holandês Hendrik Casimir, e confirmado com experiências em 1997 por Steve Lamoreaux.

Soma dos naturais = infinito ou -1/12?

Qual a soma de todos os números naturais? Recordo que um número natural é um número inteiro maior que zero, isto é:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, …

Como deverá ser claro, este conjunto tem um número infinito de elementos. Mesmo o maior número natural que possam imaginar não será o “último” da lista, pois esse mesmo número +1 dá origem a um número maior, que também não será o “último” pela mesma razão (ad infinitum).

Talvez o leitor já tenha visto um famoso vídeo do Numberphile que afirma que a soma de todos os naturais é igual -1/12:

Será que é mesmo?
(Este artigo será um pouco denso, pelo que sinta-se à vontade de usar os comentários para pedir esclarecimentos adicionais. Acrescento que poderá ser útil ler primeiro o artigo 0.9(9)=1, onde faço a demonstração da soma da progressão geométrica.)

Quem decide: razão ou emoção?

Na cultura ocidental do século XXI encontra-se ainda bastante a noção platónica de que para fazermos boas decisões devemos baseá-las na razão. A emoção é entendida como um impedimento ao processo lógico e que, quando não controlada, nos conduz a deliberações imperfeitas. Não lhe será de certo difícil recordar algum filme ou livro em que uma dada personagem foi retratada como sendo mais bem-sucedida que a média por ter a característica de não se deixar guiar pela emoção. Aliás, quando descrevemos alguém como “emocional” queremos por vezes implicar que se trata de alguém com falta de bom senso. Mas será que a emoção é mesmo um obstáculo à tomada de boas decisões?

Os Problemas do Milénio – Parte II

Os Problemas do Milénio, ou os Problemas do Prémio Millennium, são sete problemas de Matemática cuja solução de cada um vale um milhão de dólares!

Na primeira parte falei-vos da Hipótese de Riemann, da Conjectura de Hodge, e da Conjectura de Poincaré (o único problema já resolvido). Passemos agora aos outros quatro problemas.

Os Problemas do Milénio – Parte I

Os Problemas do Milénio, ou os Problemas do Prémio Millennium, são sete problemas de Matemática. A solução de cada um vale um milhão de dólares! A lista de problemas foi definida em 2000 pelo Clay Mathematics Institute (CMI). O instituto foi fundado em 1998 pelo empresário americano Landon Thomas Clay, e trata-se de uma fundação privada sem fins lucrativos que se encontra em Peterborough (New Hampshire, Estados Unidos). O CMI tem o propósito de disseminar e aumentar o conhecimento matemático. Para isso, o instituto oferece vários prémios e providencia financiamento a matemáticos promissores. O prémio em causa serve ambos os propósitos: por um lado a quantia de um milhão de dólares suscita o interesse e a curiosidade do público em geral, por outro fomenta o progresso da Matemática. Adianto que um dos problemas já foi resolvido, mas já lá vamos.

Como o leitor pode imaginar, a maioria destes problemas são tão complexos que só para os compreender é necessário ter conhecimentos muito avançados de Matemática. Neste artigo irei apenas tentar dar uma ideia sobre os problemas, e qual a importância de uma possível resolução. Irei também incluir alguns detalhes técnicos que o leitor pode escolher ignorar, ou requisitar mais informações nos comentários. Faço ainda notar que não é claro que haja solução para todos estes problemas.

A Matemática das Eleições

Por estes dias, muitos de nós nos questionamos como é que é possível que Donald Trump tenha ganho as eleições nos Estados Unidos, ou como é que o referendo do Brexit tenha tido o resultado que teve. Embora estas questões possam ser melhor compreendidas com base em aspectos sociológicos, bem como no facto do sistema “democrático” permitir que uma população mal informada tome decisões; é importante reconhecer que a própria contagem de votos não é tão transparente e exacta como poderia parecer. Não, não me refiro a uma eventual adulteração da contagem, mas sim ao próprio sistema adoptado. Se tivermos apenas duas opções de voto é óbvio que aquela que receba maior número de votos seja aquela que agrada à maioria da população. Porém, se tivermos três opções de voto, os resultados tornam-se de imediato contestáveis, pois será possível eleger um candidato com menos de 50% dos votos, o que significa que a maioria da população se opõe ao vencedor!